Ejercicios de Integrales impropias

Desarrollo:

Identificamos el tipo de integral impropia, y la escribimos en forma de límite.

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx}$ es una integral impropia de segunda especie, pues tiene una discontinuidad en el intervalo de integración. En particular, la discontinuidad se encuentra en un extremo del intervalo $(x=0)$.

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\underset{a\to 0}{lim}{\int }_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx}$

Calculamos la integral en función de parámetro que hemos introducido.

${\displaystyle {\int }_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=[2\sqrt{x}{]}_a^1=(2-2\sqrt{a})}$

Calculamos el límite y, por lo tanto, el resultado de la integral.

$\underset{a\to 0}{lim}(2-2\sqrt{a})=2$

Solución:

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2}$

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