Exercicis de Integrals impròpies

Calcular la integral $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Desenvolupament:

Identifiquem el tipus d'integral impròpia i l'escrivim en forma de límit.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ és una integral impròpia de segon tipus, ja que té una discontinuïtat en l'interval d'integració. En particular, la discontinuïtat es troba en un extrem de l'interval $(x = 0)$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x = lim_{a \to 0} \int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Calculem la integral en funció del paràmetre que hem introduït.

$\int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x = [2 \sqrt{x}]_{a}^{1} = (2 - 2 \sqrt{a})$

Calculem el límit i, per tant, el resultat de la integral.

$lim_{a \to 0} (2 - 2 \sqrt{a}) = 2$

Solució:

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x = 2$

Amagar desenvolupament i solució