Una integral impròpia és una integral que té una asímptota vertical en l'interval d'integració, o amb l'interval d'integració no acotat.
En aquest tipus d'integrals, calcularem la integral en un interval una mica més reduït amb un paràmetre, per a després fer el límit del resultat.
Una integral impròpia pot no convergir, en el sentit que el seu resultat sigui infinit. Hi ha 3 tipus d'integrals impròpies.
Integrals impròpies de primer tipus
Són les integrals del tipus $$\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x) \ dx$$ o $$\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \ dx$$. Aquestes integrals es resoldran de la següent manera: $$$\displaystyle \begin{array}{l} \int_{-\infty}^b f(x) \ dx= \lim_{c \to{+}\infty}{\int_{c}^b f(x) \ dx} \\ \int_a^{+\infty} f(x) \ dx = \lim{x \to \infty}{\int_a^c f(x) \ dx}\end{array}$$$
$$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-x} \ dx= \lim_{b \to \infty} {\int_0^b e^{-x} \ dx} = \lim_{b \to \infty}{\Big[-e^{-x}\Big]_0^b}=\lim_{b \to \infty}{(1-e^{-b})}=1$$
Integrals impròpies de segon tipus
Són integrals $$\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$$ on $$f(x)$$ té una discontinuïtat asimptòtica en l'interval d'integració. Si aquesta discontinuïtat asimptòtica es produeix en $$c \in [a,b]$$, llavors$$$\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = \lim_{d \to c^-}{\int_a^d f(x) \ dx}+ \lim_{e \to c^+}{\int_e^b f(x) \ dx}$$$
Integrals impròpies de tercer tipus
Són integrals barreja del primer tipus i del segon.