Integrals impròpies

Una integral impròpia és una integral que té una asímptota vertical en l'interval d'integració, o amb l'interval d'integració no acotat.

En aquest tipus d'integrals, calcularem la integral en un interval una mica més reduït amb un paràmetre, per a després fer el límit del resultat.

Una integral impròpia pot no convergir, en el sentit que el seu resultat sigui infinit. Hi ha 3 tipus d'integrals impròpies.

Integrals impròpies de primer tipus

Són les integrals del tipus $\int_{- \infty}^{b} f (x) d x$ o $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ . Aquestes integrals es resoldran de la següent manera: $\begin{array}{l} \int_{- \infty}^{b} f (x) d x = lim_{c \to + \infty} \int_{c}^{b} f (x) d x \\ \int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = lim x \to \infty \int_{a}^{c} f (x) d x \end{array}$

Exemple

$\int_{0}^{+ \infty} e^{- x} d x = lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} e^{- x} d x = lim_{b \to \infty} [- e^{- x}]_{0}^{b} = lim_{b \to \infty} (1 - e^{- b}) = 1$

Integrals impròpies de segon tipus

Són integrals $\int_{a}^{b} f (x) d x$ on $f (x)$ té una discontinuïtat asimptòtica en l'interval d'integració. Si aquesta discontinuïtat asimptòtica es produeix en $c \in [a, b]$ , llavors $\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{d \to c^{-}} \int_{a}^{d} f (x) d x + lim_{e \to c^{+}} \int_{e}^{b} f (x) d x$

Integrals impròpies de tercer tipus

Són integrals barreja del primer tipus i del segon.