Integral definida i regla de Barrow

Què és una integral definida? Partirem d'una funció $$f (x)$$, de la qual coneixem els valors (acotats) en un interval tancat $$[a, b]$$.

Ara, si dividim aquest interval $$n$$ intervals més petits, i en cada subinterval dibuixem un rectangle d'alçada igual al valor de la funció en el punt mig del subinterval, obtenim el que es pot veure en el gràfic següent:

Prenent més subintervals (prenent $$n$$ major), aquests seran més estrets. Llavors, definim la integral definida de $$f(x)$$ entre $$a$$ i $$b$$ com la suma de les àrees d'aquests rectangles, quan el nombre de subintervals tendeix a infinit (és a dir, l'amplada dels rectangles tendeix a zero). I escriurem

$$$\displaystyle \int_{x}^b f(x) \ dx$$$

La integral indefinida verifica les següents propietats:

• Linealitat de l'integrant: donades dues funcions $$f (x)$$ i $$g (x)$$ definides en l'interval $$[a, b]$$, i $$K$$ una constant qualsevol, llavors $$$\displaystyle \begin{array} {l}\int_{a}^b f(x) \pm g(x) \ dx= \int_{a}^b f(x) \ dx \pm \int_{a}^b g(x) \ dx \\ \int_{a}^b K \cdot f(x) \ dx= K \cdot \int_{a}^b f(x) \ dx \end{array}$$$

• Propietat additiva de l'interval: Si $$f(x)$$ està definida en $$[a, b]$$ i $$c$$ pertany a l'interval $$[a, b]$$, llavors: $$$\displaystyle \int _{a}^b f(x) \ dx = \int _{a}^c f(x) \ dx + \int _{c}^b f(x) \ dx$$$ Aquesta propietat ens serà molt útil per calcular integrals de funcions contínues a trossos, com veurem en algun exemple més tard. D'aquesta propietat també es dedueix que$$$ \displaystyle \int _{a}^b f(x) \ dx =0$$$

Un cop sabem què és una integral indefinida, vegem com calcular-la:

Primer teorema fonamental del càlcul i regla de Barrow

Sigui $$f(x)$$ una funció, i $$F (x)$$ la seva primitiva (o antiderivada o integral indefinida). Llavors $$F(x)=\int_{a}^x f(x) \ dx +C$$. Com que $$F(a)=\int_{a}^a f(x) \ dx +C=0+C$$, tenim que $$C=F(a)$$ i $$F(x)-F(a)=\int_{a}^x f(x) \ dx$$, en particular: $$$ F(x)=\int_{a}^b f(x) \ dx +=F(b)-F(a)$$$.

És a dir, que calcular la integral definida de $$f(x)$$ en l'interval $$[a, b]$$ és tan fàcil com trobar una primitiva de $$f(x)$$, calcular el seu valor en els extrems de l'interval, i restar-los.

Vegem alguns exemples: