Integral definida i regla de Barrow

Què és una integral definida? Partirem d'una funció $f (x)$ , de la qual coneixem els valors (acotats) en un interval tancat $[a, b]$ .

Ara, si dividim aquest interval $n$ intervals més petits, i en cada subinterval dibuixem un rectangle d'alçada igual al valor de la funció en el punt mig del subinterval, obtenim el que es pot veure en el gràfic següent:

imagen

Prenent més subintervals (prenent $n$ major), aquests seran més estrets. Llavors, definim la integral definida de $f (x)$ entre $a$ i $b$ com la suma de les àrees d'aquests rectangles, quan el nombre de subintervals tendeix a infinit (és a dir, l'amplada dels rectangles tendeix a zero). I escriurem

$\int_{x}^{b} f (x) d x$

La integral indefinida verifica les següents propietats:

Linealitat de l'integrant: donades dues funcions $f (x)$ i $g (x)$ definides en l'interval $[a, b]$ , i $K$ una constant qualsevol, llavors $\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f (x) \pm g (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x \\ \int_{a}^{b} K \cdot f (x) d x = K \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x \end{array}$
Propietat additiva de l'interval: Si $f (x)$ està definida en $[a, b]$ i $c$ pertany a l'interval $[a, b]$ , llavors: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ Aquesta propietat ens serà molt útil per calcular integrals de funcions contínues a trossos, com veurem en algun exemple més tard. D'aquesta propietat també es dedueix que $\int_{a}^{b} f (x) d x = 0$

Un cop sabem què és una integral indefinida, vegem com calcular-la:

Primer teorema fonamental del càlcul i regla de Barrow

Sigui $f (x)$ una funció, i $F (x)$ la seva primitiva (o antiderivada o integral indefinida). Llavors $F (x) = \int_{a}^{x} f (x) d x + C$ . Com que $F (a) = \int_{a}^{a} f (x) d x + C = 0 + C$ , tenim que $C = F (a)$ i $F (x) - F (a) = \int_{a}^{x} f (x) d x$ , en particular: $F (x) = \int_{a}^{b} f (x) d x + = F (b) - F (a)$ .

És a dir, que calcular la integral definida de $f (x)$ en l'interval $[a, b]$ és tan fàcil com trobar una primitiva de $f (x)$ , calcular el seu valor en els extrems de l'interval, i restar-los.

Vegem alguns exemples:

Exemple

$\int_{0}^{1} x^{2} d x = [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ on $\frac{x^{3}}{3}$ és la primitiva de $x^{2}$ i $[\frac{x^{3}}{3}]$ significa evaluar $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ i en $0$ i restar els valors.

Exemple

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x = \frac{1}{3} [e^{3 x}]_{0}^{2} = \frac{1}{3} (e^{3 \cdot 2} - e^{3 \cdot 0}) = \frac{1}{3} (e^{6} - e^{0}) = \frac{1}{3} (e^{6} - 1)$

Exemple

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} d x = - [\ln (\cos x)]_{0}^{\frac{π}{4}} = - \ln (\cos \frac{π}{4}) + \ln (\cos 0) =$ $= - \ln \frac{\sqrt{2}}{2} + \ln 1 = \frac{1}{2} \ln 2$