Las integrales inmediatas son el tipo de integral más simple que existe, puesto que se resuelven aplicando lo que ya sabemos: que integrar es esencialmente lo opuesto de derivar.
Son las integrales de funciones del tipo $$k \cdot x^n$$, donde $$k$$ es una constante y $$n$$ es un número cualquiera distinto de $$-1$$.
Tenemos entonces que :$$$\displaystyle \int k \cdot x^n \ dx= k \cdot \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$$$ pues si derivamos el resultado: $$$\dfrac{d}{dx}\Big(k \cdot \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\Big)=\dfrac{d}{dx}\Big(k \cdot \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big)+\dfrac{d}{dx}C= k\cdot \dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big)=$$$ $$$= k \cdot \dfrac{(n+1)x^n}{n+1}=k \cdot x^n$$$
$$\displaystyle \int x \ dx= \dfrac{x^2}{2}+C$$, pues $$\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{x^2}{2}+C\Big)=x$$
$$\displaystyle \int x^2 \ dx= \dfrac{x^3}{3}+C$$, pues $$\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{x^3}{3}+C\Big)=x^2$$
$$\displaystyle \int x^3 \ dx= \dfrac{x^4}{4}+C$$, pues $$\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{x^4}{4}+C\Big)=x^3$$
$$\displaystyle \int 23x^5 \ dx= 23\dfrac{x^6}{6}+C$$, pues $$\dfrac{d}{dx}\Big(23\dfrac{x^6}{6}+C\Big)=23 \cdot \dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{x^6}{6}\Big)=23 \cdot 6 \cdot \dfrac{x^{6-1}}{6}=23 \cdot x^5$$
$$\displaystyle \int \sqrt{x} \ dx = \int x^{\frac{1}{2}}=\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\dfrac{1}{2}+1}+C=\dfrac{x^\frac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}}+C=\dfrac{2}{3}x^\frac{3}{2}$$, pues $$\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{2}{3}x^\frac{3}{2}+C\Big)=\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{2}{3}x^\frac{3}{2}\Big)+\dfrac{d}{dx}C=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{d}{dx}x^\frac{2}{3}=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{2}x^\frac{1}{2}=x^\frac{1}{2}=\sqrt{x}$$
$$\displaystyle \int \sqrt[3]{425} \cdot x^\frac{2}{3} \ dx= \sqrt[3]{425} \cdot \dfrac{x^\frac{5}{3}}{\dfrac{5}{3}}+C$$, pues $$\dfrac{d}{dx}\Big(\sqrt[3]{425} \cdot \dfrac{x^\frac{5}{3}}{\dfrac{5}{3}}+C\Big)=\dfrac{d}{dx}\Big(\sqrt[3]{425} \cdot \dfrac{x^\frac{5}{3}}{\dfrac{5}{3}}\Big)+\dfrac{d}{dx}\Big(C\Big)=\sqrt[3]{425} \cdot \dfrac{d}{dx}\Big( \dfrac{x^\frac{5}{3}}{\dfrac{5}{3}}\Big)=$$
$$=\sqrt[3]{425} \cdot x^\frac{2}{3}$$
$$\displaystyle \int 15x^{-2} \ dx= 15\dfrac{x^{-1}}{-1}+C=-15\dfrac{1}{x}+C$$, since $$\dfrac{d}{dx}\Big(-15\dfrac{1}{x}\Big)=-15 \cdot \dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{1}{x}\Big)=-15 \cdot \dfrac{x^{-2}}{-1}=15 \cdot x^{-2}$$