Integrals immediates de polinomis

Les integrals immediates són el tipus d'integrals més simples que hi ha, ja que es resolen aplicant el que ja sabem: que integrar és essencialment el contrari de derivar.

Són les integrals de funcions del tipus $k \cdot x^{n}$ , on $k$ és una constant i $n$ és un nombre qualsevol diferent de $- 1$ .

Tenim llavors que : $\int k \cdot x^{n} d x = k \cdot \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ doncs si derivem el resultat: $\frac{d}{d x} (k \cdot \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C) = \frac{d}{d x} (k \cdot \frac{x^{n + 1}}{n + 1}) + \frac{d}{d x} C = k \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x^{n + 1}}{n + 1}) =$ $= k \cdot \frac{(n + 1) x^{n}}{n + 1} = k \cdot x^{n}$

Exemple

$\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + C$ , doncs $\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} + C) = x$

Exemple

$\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C$ , doncs $\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} + C) = x^{2}$

Exemple

$\int x^{3} d x = \frac{x^{4}}{4} + C$ , doncs $\frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{4} + C) = x^{3}$

Exemple

$\int 23 x^{5} d x = 23 \frac{x^{6}}{6} + C$ , doncs $\frac{d}{d x} (23 \frac{x^{6}}{6} + C) = 23 \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{6}) = 23 \cdot 6 \cdot \frac{x^{6 - 1}}{6} = 23 \cdot x^{5}$

Exemple

$\int \sqrt{x} d x = \int x^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ , doncs $\frac{d}{d x} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} C = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

Exemple

$\int \sqrt[3]{425} \cdot x^{\frac{2}{3}} d x = \sqrt[3]{425} \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C$ , doncs $\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{425} \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C) = \frac{d}{d x} (\sqrt[3]{425} \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (C) = \sqrt[3]{425} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}) =$

$= \sqrt[3]{425} \cdot x^{\frac{2}{3}}$

Exemple

$\int 15 x^{- 2} d x = 15 \frac{x^{- 1}}{- 1} + C = - 15 \frac{1}{x} + C$ , doncs $\frac{d}{d x} (- 15 \frac{1}{x}) = - 15 \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) = - 15 \cdot \frac{x^{- 2}}{- 1} = 15 \cdot x^{- 2}$