Integrals immediates logarítmiques, exponencials i trigonomètriques

Integrals immediates de logaritme

Són les integrals de funcions del tipus kx1 i es resolen:

k1x dx=kx1 dx=kln|x|+C

doncs

ddx(kln|x|+C)=ddxkln|x|+0=kddxln|x|=k1x

Observem que el resultat és el logaritme del valor absolut, ja que no existeix el logaritme d'un nombre negatiu.

Per les propietats vistes en els logaritmes, si a>0:

1xlna dx=loga|x|+C

Exemple

1x dx=ln|x|+C

151x dx=151x dx=15ln|x|+C

1xln5 dx=log5|x|+C

Integrals immediates exponencials

Com que sabem que la derivada de la funció ex és ella mateixa, per tant,

ex dx=ex+C

i, com en el cas anterior, per les propietats dels logaritmes, si a>0 i a1:

ax dx=axlna+C

Exemple

3ex dx=3ex+C

3x dx=3x dx=3xln3+C

4x+4ex dx=4x dx+4ex dx=4xln4+4ex+C

Integrals trigonomètriques

Podem usar l'après a les derivades de funcions trigonomètriques (sinus, cosinus, tangent, arctangent, etc.) en integrar:

sinx dx=cosx+C

cosx dx=sinx+C

1cos2x dx=tanx+C

11x2 dx=arcsinx+C

11x2 dx=arccosx+C

1a+x2 dx=arctanx+C

Exemple

2sinx dx=2cosx+C

5cosx+3sinx dx=5cosx dx+3sinx dx=5sinx3cosx+C

31+x2 dx=3arctanx+C