Dada una función $$f(x)$$ nos podemos preguntar ¿a qué tiende cuando cogemos $$x$$ muy grandes? es decir, ¿a qué tiende $$f(x)$$ cuando $$x$$ tiende a infinito?
La función $$f(x)=1$$ es constante y siempre vale $$1$$. Por consiguiente, su límite cuando $$x$$ tiende a infinito es $$1$$, y la función $$f(x)=x$$ tiende a infinito cuando $$x$$ tiende a infinito.
La operación de buscar el límite cuando $$x$$ tiende a infinito de una función se denota como:
$$$\lim_{x \to \infty}{f(x)}$$$
Debemos pensar también que podemos hacer el límite de una función cuando $$x$$ se hace muy grande o cuando $$x$$ se hace muy pequeño. Por lo tanto podemos definir los límites de $$f(x)$$ cuando $$x$$ tiende a infinito y a menos infinito:
$$$\lim_{x \to +\infty}{f(x)} \ \text{y} \ \lim_{x \to -\infty}{f(x)}$$$
Tomemos la función $$f(x)=x^2-1$$.
Si calculamos su límite cuando $$x$$ tiende a más y menos infinito nos encontramos con:
$$$\lim_{x \to -\infty}{f(x)} = \lim_{x \to -\infty}{x^2-1}=(-\infty)^2-1=\infty$$$
$$$\lim_{x \to +\infty}{f(x)} = \lim_{x \to +\infty}{x^2-1}=\infty^2-1=\infty$$$