Ejercicios de Regiones de integración no rectangulares

Desarrollo:

Primero, debemos escribir los límites de integración en la integral.

En este caso, se trata de una integral en una región con secciones transversales horizontales, entonces tenemos que la integral es: $${\int }_{R}f(x,y)dxdy={\int }_a^b({\int }_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dy)dx={\int }_0^1{\int }_0^x{e}^x\cdot ydydx$$ donde para un $x$ determinado, la variable $y$ se mueve entre $0$ y la recta $y=x$, que es la recta que pasa por los puntos $(0,0)$ y $(1,1)$.

Entonces, $h(x)=x$, $g(x)=0$.

Calculamos la integral: $$in{t}_0^1{\int }_0^x{e}^x\cdot ydydx=in{t}_0^1{e}^x({\int }_0^{x}y\cdot dy)\cdot dx=in{t}_0^1{e}^x\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}dx=$$ $$={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^1{e}^x\cdot x^{2}dx=$$ $$=\text{resolviendo por partes 2 veces}=$$ $$={\displaystyle \frac{1}{2}}[e^x(x^2-2x+2){]}_0^1={\displaystyle \frac{e}{2}}$$

Solución:

${\displaystyle {\int }_{R}f(x,y)dxdy={\displaystyle \frac{e}{2}}}$

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