Calcular la integral de la función $$f(x)$$, $$f(x,y)=y \cdot e^y$$ sobre el triángulo de vértices $$(0,0)$$, $$(1,0)$$ y $$(1,1)$$.
Desarrollo:
Primero, debemos escribir los límites de integración en la integral.
En este caso, se trata de una integral en una región con secciones transversales horizontales, entonces tenemos que la integral es: $$$\int_R f(x,y) \ dxdy = \int_a^b \Big(\int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) \ dy \Big) \ dx=\int_0^1\int_0^x e^x\cdot y \ dydx$$$ donde para un $$x$$ determinado, la variable $$y$$ se mueve entre $$0$$ y la recta $$y=x$$, que es la recta que pasa por los puntos $$(0,0)$$ y $$(1,1)$$.
Entonces, $$h (x) =x$$, $$g (x) =0$$.
Calculamos la integral: $$$int_0^1\int_0^x e^x\cdot y \ dydx=int_0^1 e^x\Big(\int_0^x y\cdot dy \Big)\cdot dx=int_0^1 e^x\cdot\dfrac{x^2}{2} \ dx=$$$ $$$=\dfrac{1}{2}\int_0^1 e^x\cdot x^2 \ dx=$$$ $$$=\mbox{resolviendo por partes 2 veces}=$$$ $$$=\dfrac{1}{2}[e^x(x^2-2x+2)]_0^1=\dfrac{e}{2}$$$
Solución:
$$\displaystyle \int_R f(x,y) \ dxdy=\dfrac{e}{2}$$