Calcular la integral de la funció $$f(x)$$, $$f(x,y)=y \cdot e^y$$ sobre el triangle de vèrtexs $$(0,0)$$, $$(1,0)$$ i $$(1,1)$$.
Desenvolupament:
Primer, cal escriure els límits d'integració a la integral.
En aquest cas, es tracta d'una integral en una regió amb seccions transversals horitzontals, llavors tenim que la integral és: $$$\int_R f(x,y) \ dxdy = \int_a^b \Big(\int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) \ dy \Big) \ dx=\int_0^1\int_0^x e^x\cdot y \ dydx$$$ on per a un $$x$$ determinat, la variable $$y$$ es mou entre $$0$$ i la recta $$y = x$$, que és la recta que passa pels punts $$(0,0)$$ i $$(1,1)$$.
Llavors, $$h (x) =x$$, $$g (x) =0$$.
Calculem la integral: $$$int_0^1\int_0^x e^x\cdot y \ dydx=int_0^1 e^x\Big(\int_0^x y\cdot dy \Big)\cdot dx=int_0^1 e^x\cdot\dfrac{x^2}{2} \ dx=$$$ $$$=\dfrac{1}{2}\int_0^1 e^x\cdot x^2 \ dx=$$$ $$$=\mbox{resolent per parts dues vegades}=$$$ $$$=\dfrac{1}{2}[e^x(x^2-2x+2)]_0^1=\dfrac{e}{2}$$$
Solució:
$$\displaystyle \int_R f(x,y) \ dxdy=\dfrac{e}{2}$$