Exercicis de Regions d'integració no rectangulars

Desenvolupament:

Primer, cal escriure els límits d'integració a la integral.

En aquest cas, es tracta d'una integral en una regió amb seccions transversals horitzontals, llavors tenim que la integral és: $${\int }_{R}f(x,y)dxdy={\int }_a^b({\int }_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dy)dx={\int }_0^1{\int }_0^x{e}^x\cdot ydydx$$ on per a un $x$ determinat, la variable $y$ es mou entre $0$ i la recta $y=x$, que és la recta que passa pels punts $(0,0)$ i $(1,1)$.

Llavors, $h(x)=x$, $g(x)=0$.

Calculem la integral: $$in{t}_0^1{\int }_0^x{e}^x\cdot ydydx=in{t}_0^1{e}^x({\int }_0^{x}y\cdot dy)\cdot dx=in{t}_0^1{e}^x\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}dx=$$ $$={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^1{e}^x\cdot x^{2}dx=$$ $$=\text{resolent per parts dues vegades}=$$ $$={\displaystyle \frac{1}{2}}[e^x(x^2-2x+2){]}_0^1={\displaystyle \frac{e}{2}}$$

Solució:

${\displaystyle {\int }_{R}f(x,y)dxdy={\displaystyle \frac{e}{2}}}$

Amagar desenvolupament i solució