Un sistema de inecuaciones de una variable es un conjunto de inecuaciones de una variable que actúan a la vez, es decir, los puntos solución deben cumplir todas las inecuaciones del sistema.
Un ejemplo de sistema de inecuaciones es:
$$$ \left\{ \begin{array}{l} x-1 > 0 \\ x+2(1-x) < 4+x \\ 2x < 8 \end{array}\right. $$$
En este ejemplo podemos ver que las soluciones respectivas de cada sistema son: $$$ \left\{ \begin{array}{l} x > 1 \\ x > -1 \\ x < 4 \end{array}\right. $$$
y si queremos que la solución de nuestro sistema deben cumplir cada una de las inecuaciones de éste, está claro que solo lo cumplirán los puntos comprendidos entre $$1$$ y $$4$$ (la solución es $$1 < x < 4$$).
Como hemos visto en el ejemplo, resolver un sistema de inecuaciones de una variable consiste en resolver cada uno de los sistemas por libre y al final tomar la intersección de los conjuntos de soluciones de cada uno, es decir, quedarnos con las inecuaciones más restrictivas.
Los sistemas de inecuaciones de una variable pueden estar formados por inecuaciones de primer grado y inecuaciones de segundo grado (de hecho, se pueden plantear sistemas de inecuaciones de cualquier grado e incluso ni siquiera que sean polinómicos, pero la resolución de estos es mucho más complicada). En estos casos (primer y segundo grado), resolveremos cada inecuación como hemos visto en los niveles anteriores de este tema y después tomaremos el conjunto intersección de las soluciones.
Es posible que a veces, al tomar la intersección de los conjuntos soluciones veamos que éste no pueda existir ya que las inecuaciones son incompatibles (en tal caso diremos que el sistema no tiene solución) o que el conjunto se reduzca a un punto.
Por ejemplo:
-
$$x < 1$$ y $$x > 3$$ es un conjunto de soluciones de dos inecuacions incompatible, por lo que decimos que el sistema no tiene solución.
- $$x \leqslant 5$$ y $$x \geqslant 5$$ es un conjunto de soluciones de dos inecuacions compatible, y justamente la intersección de éstos es el número $$x = 5$$.
Para terminar, ponemos un ejemplo de sistema de inecuaciones de una variable.
Sea el sistema: $$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x-4 > 2 \\ 2x-1 < 7 \end{array}\right. $$$
Vamos a resolverlo aislando la $$x$$ de las dos inecuaciones: $$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x-4 > 2 \\ 2x-1 < 7 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \dfrac{2+4}{2}=3 \\ x < \dfrac{7+1}{2}=4 \end{array}\right.$$$
por lo que la solución será $$3 < x < 4$$.