Ejercicios de Sistemas de inecuaciones de una variable

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de una variable:

${\begin{cases} x (x - 2) < 0 \\ x^{2} + x > - (1 + x) \end{cases}$

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Desarrollo:

Resolveremos las dos inecuaciones independientemente y intersecaremos las regiones solución: $x (x - 2) < 0 \Rightarrow {\begin{cases} x < 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} o bé {\begin{cases} x > 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases}$ por lo que debemos tomar la segunda opción ya que la primera no tiene solución, entonces: $0 < x < 2$ .

Por otra parte: $x^{2} + x > - (1 + x) \Rightarrow x^{2} + 2 x + 1 > 0$

Resolvemos la ecuación de segundo grado $x^{2} + 2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = - 1$

Por consiguiente tenemos: $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2} = (x + 1) (x + 1) > 0 \Rightarrow x + 1 > 0 o bé x + 1 > 0$

de lo que deducimos que las soluciones serán: $x + 1 > 0$ y $x + 1 > 0$

Ahora intersecamos la región de las dos soluciones y obtenemos la región: $0 < x < 2$

Solución:

$0 < x < 2$

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