Un sistema d'inequacions d'una variable és un conjunt d'inequacions d'una variable que actuen al mateix temps, és a dir, els punts solució han de complir totes les inequacions del sistema.
Un exemple de sistema d'inequacions és:
$$$ \left\{ \begin{array}{l} x-1 > 0 \\ x+2(1-x) < 4+x \\ 2x < 8 \end{array}\right. $$$
En aquest exemple podem veure que les solucions respectives de cada sistema són: $$$ \left\{ \begin{array}{l} x > 1 \\ x > -1 \\ x < 4 \end{array}\right. $$$
i si volem que la solució del nostre sistema compleixi cadascuna de les inequacions d'aquest, és clar que només ho compliran els punts compresos entre $$1$$ i $$4$$ (la solució és $$1 < x < 4$$).
Com hem vist en l'exemple, resoldre un sistema d'inequacions d'una variable consisteix a resoldre cada un dels sistemes per lliure i al final prendre la intersecció dels conjunts de solucions de cadascuna, és a dir, quedar-nos amb les inequacions més restrictives.
Els sistemes d'inequacions d'una variable poden estar formats per inequacions de primer grau i inequacions de segon grau (de fet, es poden plantejar sistemes d'inequacions de qualsevol grau i fins i tot ni tan sols que siguin polinòmics, però la resolució d'aquests és molt més complicada ). En aquests casos (primer i segon grau), resoldrem cada inequació com hem vist en els nivells anteriors d'aquest tema i després prendrem el conjunt intersecció de les solucions.
És possible que de vegades, en prendre la intersecció dels conjunts solucions veiem que aquest no pugui existir ja que les inequacions són incompatibles o que el conjunt es redueixi a un punt.
Per exemple:
-
$$x < 1$$ i $$x > 3$$ és un conjunt de solucions de dues inequacions incompatible, de manera que diem que el sistema no té solució.
- $$x \leqslant 5$$ i $$x \geqslant 5$$ és un conjunt de solucions de dues inequacions compatible, i justament la intersecció d'aquests és el nombre $$x = 5$$.
Per acabar, posem un exemple de sistema d'inequacions d'una variable.
Sigui el sistema: $$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x-4 > 2 \\ 2x-1 < 7 \end{array}\right. $$$
Anem a resoldre aïllant la $$x$$ de les dues inequacions: $$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x-4 > 2 \\ 2x-1 < 7 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \dfrac{2+4}{2}=3 \\ x < \dfrac{7+1}{2}=4 \end{array}\right.$$$
de manera que la solució serà $$3 < x < 4$$.