Ejercicios de Teorema de Fubini

Desarrollo:

Seguiremos el siguiente procedimiento:

• Calculamos la integral respecto a $x$, suponiendo $y$ constante: $${\int }_0^4({\int }_1^2(xy+3y)dx)dy={\int }_0^4[y\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+3yx{]}_1^{2}dy=$$ $$={\int }_0^{4}y(2-{\displaystyle \frac{1}{2}})+3y\cdot (2-1)dy={\int }_0^4{\displaystyle \frac{9}{2}}ydy$$

• Calculamos la integral respecto a $y$ $${\int }_0^4{\displaystyle \frac{9}{2}}ydy={\displaystyle \frac{9}{2}}{\int }_0^{4}ydy={\displaystyle \frac{9}{2}}\cdot 8=36$$

Veamos otra manera de resolverlo. Utilizamos el teorema de Fubini para reordenar la integral, y veremos que el resultado será el mismo:

$${\int }_0^4({\int }_1^2(xy+3y)dx)dy={\int }_1^2({\int }_0^4(xy+3y)dy)dx=$$ $${\int }_1^2[x{\displaystyle \frac{y^2}{2}}+3{\displaystyle \frac{y^2}{2}}{]}_0^{4}dx={\int }_1^{2}8x+24dx=36$$

Solución:

${\displaystyle {\int }_0^4{\int }_1^2(xy+3y)dxdy=36}$

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