Teorema de Fubini

Cuando tenemos una función continua de varias variables, - llamémosla $f (x, y)$ - podemos realizar su integral en una región del plano - llamémosla $R$ - en lugar de en un intervalo $[a, b]$ con el que estamos acostumbrados a trabajar.

Escribiremos entonces , $\int_{R} f (x, y) d A$ donde $R$ es la región de integración y $d A$ es un "diferencial de área".

En este tipo de integrales, se cumplen las siguientes propiedades:

$\int_{R} K \cdot f (x, y) d A = K \cdot \int_{R} f (x, y) d A$ donde $K$ es una constante.

$\int_{R} f (x, y) \pm g (x, y) d A = \int_{R} f (x, y) d A \pm \int_{R} g (x, y) d A$

Si $R = R_{1} \cup R_{2}$ , es decir si $R$ es la unión disjunta de $R_{1}$ y $R_{2}$ $\int_{R} f (x, y) d A = \int_{R_{1}} f (x, y) d A + \int_{R_{2}} f (x, y) d A$

En el caso de que estemos integrando en un rectángulo del plano $[a, b] \times [c, d]$ , podemos escribir la integral: $\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y) d x d y$

Hay que tener en cuenta que en este caso, $[a, b]$ es el intervalo de integración en el eje de las $x$ , mientras que $[c, d]$ es el intervalo de integración en el eje de las $y$ .

En este caso escribiremos $\int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x$

Esta propiedad se llama el teorema de Fubini.

Para calcular estas integrales, realizaremos primero la integral de dentro, tomando la otra variable como una constante, y luego, con la primera variable eliminada, integramos respecto a la segunda.

Ejemplo

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{y} \sin x d x d y = \int_{0}^{1} e^{y} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x d y \int e^{y} [- \cos x]_{0}^{\frac{π}{2}} d y =$ $\int_{0}^{1} e^{y} d y = [e^{y}]_{0}^{1} e - 1$