Teorema de Fubini

Quan tenim una funció contínua de diverses variables -que anomenem $f (x, y)$ - podem realitzar la seva integral en una regió del pla - que anomenem $R$ - en lloc d'en un interval $[a, b]$ amb el que estem acostumats a treballar.

Escriurem llavors , $\int_{R} f (x, y) d A$ on $R$ és la regió d'integració i $d A$ és un "diferencial d'àrea".

En aquest tipus d'integrals, es compleixen les següents propietats:

$\int_{R} K \cdot f (x, y) d A = K \cdot \int_{R} f (x, y) d A$ on $K$ és una constant.

$\int_{R} f (x, y) \pm g (x, y) d A = \int_{R} f (x, y) d A \pm \int_{R} g (x, y) d A$

Si $R = R_{1} \cup R_{2}$ , és a dir si $R$ és la unió disjunta de $R_{1}$ i $R_{2}$ $\int_{R} f (x, y) d A = \int_{R_{1}} f (x, y) d A + \int_{R_{2}} f (x, y) d A$

En el cas que estiguem integrant en un rectangle del pla $[a, b] \times [c, d]$ , podem escriure la integral: $\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y) d x d y$

Cal tenir en compte que en aquest cas, $[a, b]$ és l'interval d'integració en l'eix de les $x$ , mentre que $[c, d]$ és l'interval d'integració en l'eix de les $y$ .

En aquest cas escriurem $\int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x$

Aquesta propietat s'anomena el teorema de Fubini.

Per calcular aquestes integrals, realitzarem primer la integral de dins, prenent l'altra variable com una constant, i després, amb la primera variable eliminada, integrem respecte a la segona.

Exemple

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{y} \sin x d x d y = \int_{0}^{1} e^{y} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x d y \int e^{y} [- \cos x]_{0}^{\frac{π}{2}} d y =$ $\int_{0}^{1} e^{y} d y = [e^{y}]_{0}^{1} e - 1$