Quan tenim una funció contínua de diverses variables -que anomenem $$f(x,y)$$- podem realitzar la seva integral en una regió del pla - que anomenem $$R$$ - en lloc d'en un interval $$[a,b]$$ amb el que estem acostumats a treballar.
Escriurem llavors , $$\displaystyle\int_R f(x,y) \ dA$$ on $$R$$ és la regió d'integració i $$dA$$ és un "diferencial d'àrea".
En aquest tipus d'integrals, es compleixen les següents propietats:
$$$\displaystyle \int_R K\cdot f(x,y) \ dA=K\cdot \int_R f(x,y) \ dA$$$ on $$K$$ és una constant.
$$$\displaystyle \int_R f(x,y) \pm g(x,y) \ dA = \int_ R f(x,y) \ dA \pm \int_R g(x,y) \ dA$$$
Si $$R=R_1\cup R_2$$, és a dir si $$R$$ és la unió disjunta de $$R_1$$ i $$R_2$$ $$$\displaystyle\int_R f(x,y) \ dA= \int_{R_1} f(x,y) \ dA + \int_{R_2} f(x,y) \ dA$$$
En el cas que estiguem integrant en un rectangle del pla $$[a,b] \times [c,d]$$, podem escriure la integral: $$$\displaystyle \int_c^d \int_a^b f(x,y) \ dxdy$$$
Cal tenir en compte que en aquest cas, $$[a,b]$$ és l'interval d'integració en l'eix de les $$x$$, mentre que $$[c,d]$$ és l'interval d'integració en l'eix de les $$y$$.
En aquest cas escriurem $$$\displaystyle \int_c^d\Big( \int_a^b f(x,y) \ dx\Big)dy= \int_a^b\Big( \int_c^d f(x,y) \ dy\Big)dx$$$
Aquesta propietat s'anomena el teorema de Fubini.
Per calcular aquestes integrals, realitzarem primer la integral de dins, prenent l'altra variable com una constant, i després, amb la primera variable eliminada, integrem respecte a la segona.
$$$\displaystyle \int_0^1\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^y\sin x \ dxdy=\int_0^1e^y\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \ dxdy \int e^y\Big[-\cos x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \ dy=$$$ $$$\int_0^1 e^y \ dy= \Big[e^y \Big]_0^1e-1$$$