Exercicis de Teorema de Fubini

Desenvolupament:

Seguirem el següent procediment:

• Calculem la integral respecte de $x$, suposant $y$ constant: $${\int }_0^4({\int }_1^2(xy+3y)dx)dy={\int }_0^4[y\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+3yx{]}_1^{2}dy=$$ $$={\int }_0^{4}y(2-{\displaystyle \frac{1}{2}})+3y\cdot (2-1)dy={\int }_0^4{\displaystyle \frac{9}{2}}ydy$$

• Calculem la integral respecte a $y$ $${\int }_0^4{\displaystyle \frac{9}{2}}ydy={\displaystyle \frac{9}{2}}{\int }_0^{4}ydy={\displaystyle \frac{9}{2}}\cdot 8=36$$

Vegem una altra manera de resoldre'l. Utilitzem el teorema de Fubini per reordenar la integral, i veurem que el resultat serà el mateix:

$${\int }_0^4({\int }_1^2(xy+3y)dx)dy={\int }_1^2({\int }_0^4(xy+3y)dy)dx=$$ $${\int }_1^2[x{\displaystyle \frac{y^2}{2}}+3{\displaystyle \frac{y^2}{2}}{]}_0^{4}dx={\int }_1^{2}8x+24dx=36$$

Solució:

${\displaystyle {\int }_0^4{\int }_1^2(xy+3y)dxdy=36}$

Amagar desenvolupament i solució