Variaciones con repetición

Sea $A$ un conjunto de $n$ elementos. Las variaciones con repetición de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$ son los grupos ordenados formados por $k$ elementos de $A$ (que pueden estar repetidos) . Se representa por $V R_{n, k}$ .

Por ejemplo,

Ejemplo

Si se tiene el conjunto de $5$ elementos $A = {a, b, c, d, e}$ :

Las variaciones con repetición de estos $5$ elementos tomados de $1$ en $1$ son: $a$ , $b$ , $c$ , $d$ and $e$ .
Las variaciones con repetición de estos $5$ elementos tomados de $2$ en $2$ son: $a b$ , $a a$ , $a c$ , $d c$ , $c c$ , $e e$ , $a e$ , $e a$ , $b c$ , $o f$ , $b b$ , $c d$ , $b e$ , etc...
Las variaciones con repetición de estos $5$ elementos tomados de $3$ en $3$ son: $a b c$ , $a b b$ , $a c d$ , $c c c$ , $a b a$ , $d c e$ , $e e d$ , $c d a$ , etc...
Las variaciones con repetición de estos $5$ elementos tomados de $4$ en $4$ son: $a b b d$ , $a c d d$ , $b e a c$ , $e e c c$ , $d a c e$ , etc...
Las variaciones con repetición de estos $5$ elementos tomados de $5$ en $5$ son: $a b c d e$ , $a b b b c$ , $a e d e d$ , $d a e c e$ , $b c c e d$ , $e d c b a$ , etc...

La siguiente fórmula nos da una forma mucho más rápida de contar cuantas variaciones con repetición de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$ hay : $V R_{n, k} = n^{k}$

En el ejemplo anterior,

Ejemplo

Se tiene que el número de variaciones con repetición de los $5$ elementos de $A$ tomados de $3$ en $3$ es: $V R_{5, 3} = 5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Como se puede ver, ¡es mucho más práctico usar la fórmula que probar todas las posibilidades a mano!