Càlcul de límits de funcions

Per calcular el límit d'una funció s'han de tenir en compte les següents propietats bàsiques dels límits.

Propietats dels límits

Sigui una funció $f (x)$ , llavors:

$lim_{x \to p} x = p$
$lim_{x \to p} k \cdot f (x) = k \cdot lim_{x \to p} f (x)$ on $k$ es un número qualsevol.
$lim_{x \to p} (f (x) + g (x)) = lim_{x \to p} f (x) + lim_{x \to p} g (x)$
$lim_{x \to p} (f (x) - g (x)) = lim_{x \to p} f (x) - lim_{x \to p} g (x)$
$lim_{x \to p} (f (x) \cdot g (x)) = lim_{x \to p} f (x) \cdot lim_{x \to p} g (x)$
$lim_{x \to p} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to p} f (x)}{lim_{x \to p} g (x)}$ si $g (x) \neq 0$

A continuació podem veure un exemple de cada propietat:

Exemple

$lim_{x \to 2} x = 2$
$lim_{x \to 1} 2 x^{2} = 2 \cdot lim_{x \to 1} x^{2} = 2 \cdot 1^{2} = 2$
$lim_{x \to 4} (x^{2} + 3 x) = lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 3 x = 4^{2} + 3 \cdot 4 = 16 + 12 = 28$
$lim_{x \to 3} (x - 5 x) = lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 5 x = 3 - 5 \cdot 3 = 3 - 15 = - 12$
$lim_{x \to 2} x^{2} = lim_{x \to 2} x \cdot lim_{x \to 2} x = 2 \cdot 2 = 4$
$lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x} = \frac{lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

Operacions amb l'infinit

Ja sabem que alguns límits poden resultar ser infinit. Aquest fet juntament amb les propietats anteriors ens poden portar a situacions d'haver de sumar, restar, multiplicar i dividir pel valor infinit.

Per exemple:

Exemple

$lim_{x \to + \infty} (x - x^{2}) = lim_{x \to + \infty} x - lim_{x \to + \infty} x^{2} = \infty - \infty$

Aquesta resta d'infinits val zero? Quin infinit és més gran, el de $x$ o el de $x$ quadrat? a aquesta situació se l'anomena indeterminació.

D'indeterminacions n'hi ha de molts tipus:

$\infty - \infty, \frac{\infty}{\infty}, \frac{0}{\infty}, 1^{\infty}, \dots$

Aquestes situacions les pots aprendre a resoldre en el tema de límits, càlcul de límits, en l'apartat d'indeterminacions.

Ara ja podem centrar-nos en el càlcul de límits.

Per realitzar un límit d'una funció $f (x)$ en $x = p$ simplement hem de substituir $x$ per $p$ en l'expressió del límit. En fer aquest pas pot ser que obtinguem un valor concret (un número), un valor infinit o una indeterminació. En l'últim cas haurem de modificar l'expressió del límit a una altra expressió equivalent per evitar la indeterminació. Aquest pas està explicat en el següent tema, en l'apartat d'indeterminacions.

En el cas de funcions definides a trossos o funcions no contínues haurem de fer límits laterals en funció del punt a fer el límit. Escollirem l'expressió adequada de la funció per posar al límit en funció de si ens acostem per la dreta o per l'esquerra. Tenim un exemple a continuació:

Exemple

Considerem la funció $f (x) = {\begin{matrix} x + 1 si x < 1 \\ x - 1 si x \geq 1 \end{matrix}$ i busquem els límits laterals en $x = 1$ .

$L^{-} = lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} x + 1 = 1 + 1 = 2$

$L^{+} = lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} x - 1 = 1 - 1 = 0$

Quan fem un límit d'una funció a infinit s'ha de procedir de la mateixa manera que com si féssim el límit en un punt, però substituint el valor del punt concret per infinit.

Haurem de distingir els valors de "més infinit" o el de "menys infinit" a l'hora de fer el límit i d'obtenir el resultat. Quan fem el límit pot ser que obtinguem un valor finit, un valor infinit o una indeterminació.

Haurem també de vigilar amb els signes a l'hora de fer el límit.

Exemple

Per exemple, si fem el límit de la funció cúbica quan $x$ tendeix a menys infinit:

$lim_{x \to - \infty} x^{3} = lim_{x \to - \infty} x \cdot lim_{x \to - \infty} x \cdot lim_{x \to - \infty} x = (- \infty) \cdot (- \infty) \cdot (- \infty) = - \infty$

mentre que si realitzem el límit de la funció quadràtica:

$lim_{x \to - \infty} x^{2} = lim_{x \to - \infty} x \cdot lim_{x \to - \infty} x = (- \infty) \cdot (- \infty) = + \infty$