Límit d' una funció en un punt

Donada una funció $f (x)$ direm que té límit $L$ en un punt $p$ si $f (x)$ pren valors tan propers a $L$ com vulguem, prenent punts prou propers a $p$ però diferents de $p$ . Aquest concepte es denota com:

$lim_{x \to p} f (x) = L$

Exemple

Considerem la funció $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$ . Si busquem el límit de la funció en el punt per exemple $x = 5$ , posarem:

$lim_{x \to 5} f (x) = lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 1}{x} = \frac{5^{2} - 1}{5} = \frac{24}{5}$

En aquest cas, la funció $f (x)$ coincideix amb el límit en el punt $x = 5$ .

Pot semblar que la funció sempre coincideixi amb el seu límit en qualsevol punt, però no és així. En el següent exemple veiem un cas en què la funció no coincideix amb el seu límit:

Exemple

$f (x) = {\begin{matrix} 1 si x \neq 0 \\ 3 si x = 0 \end{matrix}$

En aquest cas veiem que $f (0) = 3$ , però :

$lim_{x \to 0} f (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$

Això significa que la funció tan a prop de $x = 0$ com vulguem val $1$ i per tant el seu límit val $1$ i no obstant això, la funció en el $0$ val $3$ .

Aquest exemple és un clar exemple de funció discontínua. Les funcions discontínues es detecten fàcilment ja que en els punts de discontinuïtat dels límits en aquests punts i la funció no coincideixen.

Per tant, recapacitem: fer el límit d'una funció $f (x)$ en un punt $p$ significa veure quant val la funció $f (x)$ quan ens situem molt a prop de $x = p$ , però no exactament sobre $p$ .