Les combinacions amb repetició de $$n$$ elements presos de $$k$$ en $$k$$ són els diferents grups de $$k$$ elements que es poden formar a partir d'aquests $$n$$ elements, permetent que els elements es repeteixin, i considerant que dos grups es diferencien només si tenen elements diferents ( és a dir, no importa l'ordre). Es representen per $$CR_{n,k}$$ .
Considerem el conjunt $$A=\{a,b,c,d,e \}$$, les diferents combinacions amb repetició d'aquests $$5$$ elements són:
- Combinacions amb repetició de $$5$$ elements presos de $$1$$ en $$1$$: $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ i $$e$$.
- Combinacions amb repetició de $$5$$ elements presos de $$2$$ en $$2$$: Com abans, es tenen $$ad$$, $$ab$$, $$ac$$, $$ae$$, $$bc$$, $$bd$$, $$be$$, $$cd$$, $$ce$$ i $$de$$, però ara també es tenen els grups amb elements repetits: $$aa$$, $$bb$$, $$cc$$, $$dd$$ i $$ee$$.
- Combinacions amb repetició de 5 elements presos de $$3$$ en $$3$$: Com abans, tenim $$abe$$, $$abc$$, $$abd$$, $$acd$$, $$ace$$, $$ade$$, $$bcd$$, $$bce$$, $$bde$$ and $$cde$$, però ara també es tenen els grups amb elements repetits: $$aab$$, $$aac$$, $$aad$$, $$aae$$, $$bba$$, $$bbc$$, $$bbd$$, $$bbe$$, $$cca$$, $$ccb$$, $$ccd$$, $$cce$$, $$dda$$, $$ddb$$, $$ddc$$ i $$dde$$.
- Combinacions amb repetició de $$5$$ elements presos de $$4$$ en $$4$$: Com abans, tenim $$abcd$$, $$abce$$, $$abde$$, $$acde$$ i $$bcde$$, però ara també es tenen els grups amb elements repetits: $$aaab$$, $$aaac$$, $$aaad$$, $$aaae$$, $$aabc$$, $$aabd$$, $$aabe$$, $$aacd$$, $$aade$$, $$bbba$$, $$bbbc$$, etc...
- Combinacions amb repetició de $$5$$ elements presos de $$5$$ en $$5$$: A part del que ja teníem abans (que era $$abcde$$) ara també es tenen els grups amb elements repetits: $$aaaaa$$, $$aaaab$$, $$aaaac$$, $$aaaad$$, $$aaaae$$, $$aaabc$$, $$aaabd$$, $$aaabe$$, $$aaacd$$, $$aaace$$, $$aaade$$, etc...
Com es pot veure en aquest exemple, ara hi ha molts més grups possibles que abans. La següent fórmula ens diu quantes combinacions amb repetició de $$n$$ elements presos de $$k$$ en $$k$$ hi ha:
$$$\displaystyle CR_{n,k}=\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}$$$
En l'exemple anterior,
Si es vol saber quantes combinacions amb repetició de $$5$$ elements presos de $$3$$ en $$3$$ hi ha, utilitzant la fórmula s'obté que són $$35$$:
$$$\displaystyle CR_{5,3}=\binom{5+3-1}{3}=\frac{(5+3-1)!}{(5-1)!3!}=\frac{7!}{4!3!}=7 \cdot 5 = 35$$$