Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$ son los diferentes grupos de $k$ elementos que se pueden formar a partir de estos $n$ elementos, permitiendo que los elementos se repitan, y considerando que dos grupos se diferencian solamente si tienen elementos diferentes (es decir, no importa el orden). Se representan por $C R_{n, k}$ .

Ejemplo

Consideramos el conjunto $A = {a, b, c, d, e}$ , se tiene que las diferentes combinaciones con repetición de estos $5$ elementos son:

Combinaciones con repetición de $5$ elementos tomados de $1$ en $1$ : $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $e$ .
Combinaciones con repetición de $5$ elementos tomados de $2$ en $2$ : Como antes, se tienen $a d$ , $a b$ , $a c$ , $a e$ , $b c$ , $b d$ , $b e$ , $c d$ , $c e$ y $d e$ , pero ahora también se tienen los grupos con elementos repetidos: $a a$ , $b b$ , $c c$ , $d d$ y $e e$ .
Combinaciones con repetición de $5$ elementos tomados de $3$ en $3$ : como antes, tenemos $a b e$ , $a b c$ , $a b d$ , $a c d$ , $a c e$ , $a d e$ , $b c d$ , $b c e$ , $b d e$ y $c d e$ , pero ahora también se tienen los grupos con elementos repetidos: $a a b$ , $a a c$ , $a a d$ , $a a e$ , $b b a$ , $b b c$ , $b b d$ , $b b e$ , $c c a$ , $c c b$ , $c c d$ , $c c e$ , $d d a$ , $d d b$ , $d d c$ y $d d e$ .
Combinaciones con repetición de $5$ elementos tomados de $4$ en $4$ : como antes, se tienen $a b c d$ , $a b c e$ , $a b d e$ , $a c d e$ y $b c d e$ , pero ahora también se tienen los grupos con elementos repetidos: $a a a b$ , $a a a c$ , $a a a d$ , $a a a e$ , $a a b c$ , $a a b d$ , $a a b e$ , $a a c d$ , $a a d e$ , $b b b a$ , $b b b c$ , etc...
Combinaciones con repetición de $5$ elementos tomados de $5$ en $5$ : A parte del que ya teníamos antes (que era $a b c d e$ ) ahora también se tienen los grupos con elementos repetidos: $a a a a a$ , $a a a a b$ , $a a a a c$ , $a a a a d$ , $a a a a e$ , $a a a b c$ , $a a a b d$ , $a a a b e$ , $a a a c d$ , $a a a c e$ , $a a a d e$ , etc...

Como se puede ver en este ejemplo, ahora hay muchos más grupos posibles que antes. La siguiente fórmula nos dice cuántas combinaciones con repetición de $n$ tomados de $k$ en $k$ hay:

$C R_{n, k} = (\binom{n + k - 1}{k}) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!}$

En el ejemplo anterior,

Ejemplo

Se quiere saber cuantas combinaciones con repetición de $5$ elementos tomados de $3$ en $3$ hay, usando la fórmula se obtiene que son 35:

$C R_{5, 3} = (\binom{5 + 3 - 1}{3}) = \frac{(5 + 3 - 1)!}{(5 - 1)! 3!} = \frac{7!}{4! 3!} = 7 \cdot 5 = 35$