Combinaciones sin repetición

Las combinaciones sin repetición de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$ son los diferentes grupos de $k$ eelementos que se pueden formar a partir de estos $n$ elementos, de modo que dos grupos se diferencian solamente si tienen elementos distintos (es decir, no importa el orden). Se representan por $C_{n, k}$ .

Por ejemplo,

Ejemplo

Consideremos el conjunto $A = {a, b, c, d, e}$ de $5$ elementos. Observemos primero de todo que, por ejemplo, los grupos $a b c$ y $c b a$ se consideran iguales, ya que como se ha dicho no importa el orden mientras los elementos sean los mismos.

Vamos a ver cuáles son las diferentes combinaciones sin repetición de estos $5$ elementos:

Combinaciones sin repetición de $5$ elementos tomando $1$ de una sola vez: $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $e$ .
Combinaciones sin repetición de $5$ elementos tomando $2$ de una sola vez: $a b$ , $a c$ , $a d$ , $a e$ , $b c$ , $b d$ , $b e$ , $c d$ , $c e$ y $d e$ .
Combinaciones sin repetición de $5$ elementos tomando $3$ de una sola vez: $a b c$ , $a b d$ , $a b e$ , $a c d$ , $a c e$ , $a d e$ , $b c d$ , $b c e$ , $b d e$ y $c d e$ .
Combinaciones sin repetición de $5$ elementos tomando $4$ de una sola vez: $a b c d$ , $a b c e$ , $a b d e$ , $a c d e$ y $b c d e$ .
Combinaciones sin repetición de $5$ elementos tomando $5$ de una sola vez: El único grupo de $5$ elementos que se puede formar a partir de los elementos de $A$ es $a b c d e$ .

En este ejemplo se han podido escribir todos. No obstante, si $A$ hubiera tenido muchos más elementos, ésto sería mucho más complicado.

La fórmula siguiente nos permite saber cuántas combinaciones sin repetición de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$ hay: $C_{n, k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

Ejemplo

En el ejemplo anterior, se tiene que $n = 5$ . Ahora, si se quiere saber cuántas combinaciones de $5$ elementos, tomando $3$ de una vez hay, se usa la fórmula y se obtiene: $C_{5, 3} = (\binom{5}{3}) = \frac{5!}{3! (5 - 3)!} = 10$ Se puede comprobar en la lista anterior que efectivamente hay $10$ conjuntos de $3$ elementos.