Las combinaciones sin repetición de $$n$$ elementos tomados de $$k$$ en $$k$$ son los diferentes grupos de $$k$$ eelementos que se pueden formar a partir de estos $$n$$ elementos, de modo que dos grupos se diferencian solamente si tienen elementos distintos (es decir, no importa el orden). Se representan por $$C_{n,k}$$.
Por ejemplo,
Consideremos el conjunto $$A=\{a,b,c,d,e\}$$ de $$5$$ elementos. Observemos primero de todo que, por ejemplo, los grupos $$abc$$ y $$cba$$ se consideran iguales, ya que como se ha dicho no importa el orden mientras los elementos sean los mismos.
Vamos a ver cuáles son las diferentes combinaciones sin repetición de estos $$5$$ elementos:
- Combinaciones sin repetición de $$5$$ elementos tomando $$1$$ de una sola vez: $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ y $$e$$.
- Combinaciones sin repetición de $$5$$ elementos tomando $$2$$ de una sola vez: $$ab$$, $$ac$$, $$ad$$, $$ae$$, $$bc$$, $$bd$$, $$be$$, $$cd$$, $$ce$$ y $$de$$.
- Combinaciones sin repetición de $$5$$ elementos tomando $$3$$ de una sola vez: $$abc$$, $$abd$$, $$abe$$, $$acd$$, $$ace$$, $$ade$$, $$bcd$$, $$bce$$, $$bde$$ y $$cde$$.
- Combinaciones sin repetición de $$5$$ elementos tomando $$4$$ de una sola vez: $$abcd$$, $$abce$$, $$abde$$, $$acde$$ y $$bcde$$.
- Combinaciones sin repetición de $$5$$ elementos tomando $$5$$ de una sola vez: El único grupo de $$5$$ elementos que se puede formar a partir de los elementos de $$A$$ es $$abcde$$.
En este ejemplo se han podido escribir todos. No obstante, si $$A$$ hubiera tenido muchos más elementos, ésto sería mucho más complicado.
La fórmula siguiente nos permite saber cuántas combinaciones sin repetición de $$n$$ elementos tomados de $$k$$ en $$k$$ hay: $$$\displaystyle C_{n,k}=\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$$
En el ejemplo anterior, se tiene que $$n = 5$$. Ahora, si se quiere saber cuántas combinaciones de $$5$$ elementos, tomando $$3$$ de una vez hay, se usa la fórmula y se obtiene: $$$\displaystyle C_{5,3}=\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!}=10$$$ Se puede comprobar en la lista anterior que efectivamente hay $$10$$ conjuntos de $$3$$ elementos.