Combinacions sense repetició

Les combinacions sense repetició de $n$ elements presos de $k$ en $k$ són els diferents grups de $k$ elements que es poden formar a partir d'aquests $n$ elements, de manera que dos grups es diferencien només si tenen elements diferents (és a dir, no importa l'ordre ). Es representen per $C_{n, k}$ .

Per exemple,

Exemple

Considerem el conjunt $A = {a, b, c, d, e}$ de $5$ elements. Observem primer de tot que, per exemple, els grups $a b c$ i $c b a$ es consideren iguals, ja que com s'ha dit no importa l'ordre mentre els elements siguin els mateixos.

Anem a veure quines són les diferents combinacions sense repetició d'aquests $5$ elements:

Combinacions sense repetició de $5$ elements prenent-ne $1$ alhora: $a$ , $b$ , $c$ , $d$ i $e$ .
Combinacions sense repetició de $5$ elements prenent-ne $2$ alhora: $a b$ , $a c$ , $a d$ , $a e$ , $b c$ , $b d$ , $b e$ , $c d$ , $c e$ i $d e$ .
Combinacions sense repetició de $5$ elements prenent-ne $3$ alhora: $a b c$ , $a b d$ , $a b e$ , $a c d$ , $a c e$ , $a d e$ , $b c d$ , $b c e$ , $b d e$ i $c d e$ .
Combinacions sense repetició de $5$ elements prenent-ne $4$ alhora: $a b c d$ , $a b c e$ , $a b d e$ , $a c d e$ and $b c d e$ .
Combinacions sense repetició de $5$ elements prenent-ne $5$ alhora: L'únic grup de $5$ elements que es pot formar a partir dels elements de $A$ és $a b c d e$ .

En aquest exemple s'han pogut escriure tots. No obstant això, si $A$ hagués tingut molts més elements, això seria molt més complicat.

La fórmula següent ens permet saber quantes combinacions sense repetició de $n$ elements presos de $k$ en $k$ hi ha: $C_{n, k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

Exemple

En l'exemple anterior tenim $n = 5$ . Ara, si es vol saber quantes combinacions hi ha de $5$ elements presos de $3$ en $3$ , usem la fórmula i obtenim: $C_{5, 3} = (\binom{5}{3}) = \frac{5!}{3! (5 - 3)!} = 10$ Es pot comprovar en la llista anterior que efectivament hi ha $10$ conjunts de $3$ elements.