Conjunt de nombres (reals, enters, racionals, naturals, irracionals)

En aquest tema anem a donar una petita introducció a les nocions de conjunts de nombres més significatives, essent la més important el conjunt dels nombres reals, que es denota per $\mathbb{R}$.

Però abans, per arribar als reals començarem pel conjunt dels nombres naturals.

Nombres naturals $\mathbb{N}$

Els nombres naturals són els que des del principi dels temps s'han fet servir per comptar. En la majoria de països s'han adoptat els nombres aràbigs, anomenats així perquè van ser els àrabs els qui els van introduïr a Europa, però va ser a l'Índia on es van inventar.

El conjunt dels nombres naturals es denota com $\mathbb{N}$ i es representen així:

$$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6,\dots \}$$

Els nombres naturals es caracteritzen per dues propietats:

• El nombre 1 és el primer nombre natural i cada nombre natural es forma sumant-li 1 a l'anterior.
• Quan restem o dividim dos nombres naturals, el resultat no és necessàriament un nombre natural, i per això diem que els nombres naturals no són tancats respecte aquestes dues operacions. En canvi, sí que són tancats respecte la suma i la multiplicació, és a dir, la suma o multiplicació de dos nombres naturals dóna sempre com a resultat un altre nombre natural.

Nombres enters $\mathbb{Z}$

Quan apareix la necessitat de distingir uns valors d'uns altres a partir d'una posició de referència és quan apareixen els nombres negatius. Per exemple, quan des del nivell 0 (nivell del mar) volem diferenciar per sobre del nivell del mar o per sota del mar (en les profunditats). O en el cas de les temperatures, positives o sota zero. Així podem estar a 700m d'altitud, $+700$, o bussejar a 10m de profunditat, $-10$, i podem estar a 25 graus, $+25$, o a 5 graus sota 0, $-5$.

Per denotar els nombres negatius afegim un signe menys al davant del nombre.

En definitiva, al conjunt format pels enters negatius, el nombre zero i els enters positius (o naturals) l'anomenem conjunt dels nombres enters.

Es denota pel símbol $\mathbb{Z}$ i es poden escriure com:

$$\mathbb{Z}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$$

Els representem en una recta numèrica de la següent manera:

Una propietat important dels nombres enters és que són tancats respecte a les operacions d'addició, multiplicació i sostracció, és a dir, la suma, la resta i la multiplicació de dos nombres enters dóna un altre nombre enter. Noteu que el quocient de dos enters, per exemple 3 i 7, no necessàriament és un enter. Així, l'operació divisió no és tancada respecte als nombres enters.

Nombres racionals $\mathbb{Q}$

Els nombres racionals són els nombres que resulten de la raó (divisió) entre dos nombres enters. Es denota el conjunt dels nombres racionals per $\mathbb{Q}$, així que:

$$\mathbb{Q}=\{{\displaystyle \frac{p}{q}}|p,q\in \mathbb{Z}\}$$

El resultat d'un nombre racional pot ser un enter ($-{\displaystyle \frac{8}{4}}=-2$) o bé un decimal (${\displaystyle \frac{6}{5}}=1,2$), positiu o negatiu. A més, entre els decimals pot ser de dos tipus, amb un nombre limitat de xifres que anomenarem decimal exacte (${\displaystyle \frac{88}{25}}=3,52$), o bé amb un nombre il·limitat de xifres, que anomenarem decimal periòdic (${\displaystyle \frac{5}{9}}=0,5555\dots =0,\hat{5}$).

S'anomenen periòdics perquè en la part decimal hi ha una o més xifres que es repeteixen. Si just els nombres que es repeteixen comencen a les dècimes, els anomenem periòdics purs ($6,8888\dots =6,\hat{8}$), mentre que en cas contrari els anomenem periòdics mixts ($3,415626262\dots =3,415\widehat{62}$)

Observeu que tot enter és un nombre racional, ja que, per exemple, $5={\displaystyle \frac{5}{1}}$; per tant, $\mathbb{Z}$ és un subconjunt de $\mathbb{Q}$. De la mateixa manera que els naturals són també enters, concretament enters positius. Així tenim que:

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$$

Els nombres racionals són tancats no només respecte de les operacions d'addició, multiplicació i sostracció, sinó també de la divisió (excepte pel $0$).

Nombres irracionals $\mathbb{I}$

Hem vist que qualsevol nombre racional es pot expressar com un nombre enter, un decimal exacte o un decimal periòdic.

Ara bé, no tots els nombres decimals són exactes o periòdics, i per tant, no tots els nombres decimals poden ser expressats com una fracció de dos enters.

Aquests nombres decimals que no són exactes ni periòdics es caracteritzen per tenir infinites xifres decimals no periòdiques, és a dir, que no s'acaben mai i no tenen un patró de repetició.

Observeu que el conjunt de nombres irracionals és el complementari del conjunt de nombres racionals.

Alguns exemples de nombres irracionals son $\sqrt{2},\pi ,\sqrt[3]{5},$ on per exemple $\pi =3,1415926535\dots$ prové de la relació entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre.

Nombres reals $\mathbb{R}$

El conjunt format pels nombres racionals i pels nombres irracionals s'anomena conjunt dels nombres reals i es denota amb $\mathbb{R}$.

Així doncs tenim que:

$$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \mathbb{I}$$

Tant els nombres racionals com els nombres irracionals són nombres reals.

Una de les propietats més importants dels nombres reals és poder-los representar per punts en una línia recta. Es tria un punt anomenat origen, per representar el $0$, i un altre punt, per comú a la dreta, per representar l'$1$.

Resulta així de manera natural una correspondència entre els punts de la recta i els nombres reals, és a dir, que cada punt de la recta representa un únic nombre real i a cada nombre real li correspon un únic punt de la recta. Anomenem a aquesta recta la recta real. A la següent imatge es pot veure un exemple: