Unió de conjunts
Donats dos conjunts $$A$$ i $$B$$, la unió de $$A$$ i $$B$$ és $$$A\cup B=\{x\in U \ | \ x\in A \ ó \ x\in B\}$$$
La unió d'$$A$$ i $$B$$, és el conjunt d'elements $$x$$ de $$U$$ tal que $$x$$ pertany a $$A$$, o que, $$x$$ pertany a $$B$$.
L'operació d'unió és associativa, commutativa i té element neutre:
-
Commutativa: $$A\cup B=B\cup A$$
-
Associativa: $$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$$
- Element neutre: $$A\cup\emptyset = \emptyset\cup A=A$$
La unió de dos conjunts presentada anteriorment pot estendre a diversos conjunts així la unió d'un nombre finit de conjunts ve donada per "unions successives": $$$A_1 \cup \ldots \cup A_n = ((A_1\cup A_2)\cup \ldots)\cup A_n)$$$
A causa de la propietat associativa qualsevol ordre de "aparellaments" per a realitzar la unió condueix al mateix resultat. La unió de conjunts pot generalitzar també per contemplar la unió d'un nombre infinit de conjunts $$A_k$$. En aquest cas es defineix: $$$\cup_k A_k=\{ x\in U \ | \ \exists k \ : \ x\in A_k$$$
Intersecció de conjunts
Donats dos conjunts $$A$$ i $$B$$, definim la seva intersecció com $$$A\cap B=\{ x\in U \ | \ x\in A \ i \ x\in B\}$$$
La intersecció de $$A$$ i $$B$$, és el conjunt d'elements $$x$$ de $$U$$, tal que, $$x$$ pertany a $$A$$, i que, $$x$$ pertany a $$B$$.
L'operació intersecció és commutativa, associativa, té element neutre i invers:
-
Commutativa: $$A\cap B=B\cap A$$
-
Associativa: $$(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$$
-
Element neutre: $$A\cap\emptyset=\emptyset\cap A=\emptyset$$
- Element invers: $$A\cap A^c=A^c\cap A=\emptyset$$, on $$A^c$$ representa el concepte "complementari".
A continuació, hi ha unes propietats que es compleixen entre les interseccions i les unions.
$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$
$$(B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup(C\cap A)$$ (propietat distributiva respecte de la unió)
$$A\cup(A\cap B)=A=A\cap(A\cup B)$$ (llei d'absorció)
La intersecció de dos conjunts es pot estendre a un nombre qualsevol de conjunts $$$A_1\cap\ldots\cap A_n=((A_1\cap A_2)\cap\ldots)\cap A_n)$$$
A causa de la propietat associativa qualsevol ordre de "aparellaments" per a realitzar la unió condueix al mateix resultat. La unió de conjunts pot generalitzar també per contemplar la unió d'un nombre infinit de conjunts $$A_k$$. En aquest cas es defineix: $$$\cap_k A_k=\{x\in U \ | \ \forall k \ : \ x\in A_k\}$$$
Per acabar, dos conjunts s'anomenen disjunts si la seva intersecció és nul·la.