Unió i intersecció de conjunts

Unió de conjunts

Donats dos conjunts A i B, la unió de A i B és AB={xU | xA ó xB}

imagen

La unió d'A i B, és el conjunt d'elements x de U tal que x pertany a A, o que, x pertany a B.

L'operació d'unió és associativa, commutativa i té element neutre:

  • Commutativa: AB=BA

  • Associativa: (AB)C=A(BC)

  • Element neutre: A=A=A

La unió de dos conjunts presentada anteriorment pot estendre a diversos conjunts així la unió d'un nombre finit de conjunts ve donada per "unions successives": A1An=((A1A2))An)

A causa de la propietat associativa qualsevol ordre de "aparellaments" per a realitzar la unió condueix al mateix resultat. La unió de conjunts pot generalitzar també per contemplar la unió d'un nombre infinit de conjunts Ak. En aquest cas es defineix: kAk={xU | k : xAk

Intersecció de conjunts

Donats dos conjunts A i B, definim la seva intersecció com AB={xU | xA i xB}

imagen

La intersecció de A i B, és el conjunt d'elements x de U, tal que, x pertany a A, i que, x pertany a B.

L'operació intersecció és commutativa, associativa, té element neutre i invers:

  • Commutativa: AB=BA

  • Associativa: (AB)C=A(BC)

  • Element neutre: A=A=

  • Element invers: AAc=AcA=, on Ac representa el concepte "complementari".

A continuació, hi ha unes propietats que es compleixen entre les interseccions i les unions.

A(BC)=(AB)(AC)

(BC)A=(BA)(CA) (propietat distributiva respecte de la unió)

A(AB)=A=A(AB) (llei d'absorció)

La intersecció de dos conjunts es pot estendre a un nombre qualsevol de conjunts A1An=((A1A2))An)

A causa de la propietat associativa qualsevol ordre de "aparellaments" per a realitzar la unió condueix al mateix resultat. La unió de conjunts pot generalitzar també per contemplar la unió d'un nombre infinit de conjunts Ak. En aquest cas es defineix: kAk={xU | k : xAk}

Per acabar, dos conjunts s'anomenen disjunts si la seva intersecció és nul·la.