El primer pas per transformar un nombre decimal en un altre en base $$b$$ és realitzar successives divisions enteres del nombre per la base $$b$$.
Com s'expressaria el número $$7$$ en un sistema de numeració en base $$5$$?
Per a això caldrà dividir $$7$$ entre $$5$$ i retenir el quocient i el residu:
$$(7)_{10} \Rightarrow \begin{eqnarray} &7 & |\underline{5} \\ & \fbox{2} & \fbox{1} \end{eqnarray}$$
El nombre buscat té com a primera xifra el resultat de la divisió, i com a segona, el residu.
Així, l'equivalent de $$7$$ en base $$5$$ serà:
$$(12)_5$$
Es pot comprovar que l'operació és correcta descomposant el número obtingut:
$$(12)_5=1\cdot5^1+2\cdot5^0=5+2=7$$
Seguint en la mateixa línia, el número $$13$$ equival en binari (sistema sobre la base $$2$$) a:
$$\begin{eqnarray} &(13)_{10} \Rightarrow & 13 & |\underline{2} & & & \\ & & \fbox{1} & 6 & |\underline{2} & \\ & & & \fbox{0} & 3 & |\underline{2} \\ & & & & \fbox{1} & \fbox{1} \end{eqnarray}$$
La primera xifra del nombre buscat és el resultat de l'última divisió, la segona la resta de la mateixa, i la tercera i la quarta xifres són les restes de les divisions anteriors, així que el nombre obtingut és:
$$(13)_{10}=(1101)_2$$
Es pot tornar a comprovar que els càlculs són correctes descomposant el nombre obtingut:
$$(1101)_2=1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=8+4+0+1=13$$
Transformar el $$47$$ a sistema hexadecimal:
Hexadecimal implica base $$16$$, així que caldrà dividir $$47$$ entre $$16$$ tantes vegades com es pugui per trobar el número:
$$(47)_{10} \Rightarrow \begin{eqnarray} &47 & |\underline{16} \\ & \fbox{15} & \fbox{2} \end{eqnarray}$$
Per tant tenim:
$$(47)_{10}=(2(15))_{16}=(2F)_{16}$$
Cal recordar que el símbol per a expressar $$15$$ en hexadecimal és $$F$$.
Descompondre el nombre en potències de $$16$$ permet corroborar que el resultat és correcte:
$$(2F)_{16}=2\cdot16^1+15\cdot16^0=32+15=47$$
Per transformar el següent número a sistema binari:
$$(115)_6$$
Primer cal passar-ho a sistema decimal i després convertir-lo a binari realitzant totes les possibles divisions enteres entre $$2$$.
$$(115)_6=1\cdot6^2+1\cdot6^1+5\cdot6^0=36+6+5=47$$
$$\begin{eqnarray} &(47)_{10} \Rightarrow & 47 & |\underline{2} & & & & & \\ & & \fbox{1} & 23 & |\underline{2} & & & & \\ & & & \fbox{1} & 11 & |\underline{2} & & & \\ & & & & \fbox{1} & 5 & |\underline{2} & & \\ & & & & & \fbox{1} & 2 & |\underline{2} \\ & & & & & & \fbox{0} & \fbox{1} \end{eqnarray}$$
D'aquesta manera:
$$(115)_6=(101111)_2$$