Conversió de base decimal a un altre sistema de numeració

Exemple

Com s'expressaria el número $7$ en un sistema de numeració en base $5$?

Per a això caldrà dividir $7$ entre $5$ i retenir el quocient i el residu:

$(7{)}_{10}\Rightarrow \begin{array}{rcl}& 7& |\underset{―}{5}\\ & \boxed{\text{2}}& \boxed{\text{1}}\end{array}$

El nombre buscat té com a primera xifra el resultat de la divisió, i com a segona, el residu.

Així, l'equivalent de $7$ en base $5$ serà:

$(12{)}_5$

Es pot comprovar que l'operació és correcta descomposant el número obtingut:

$(12{)}_5=1\cdot 5^1+2\cdot 5^0=5+2=7$

Exemple

Seguint en la mateixa línia, el número $13$ equival en binari (sistema sobre la base $2$) a:

$\begin{array}{rclrclr}& (13{)}_{10}\Rightarrow & 13& |\underset{―}{2}& & & \\ & & \boxed{\text{1}}& 6& |\underset{―}{2}& \\ & & & \boxed{\text{0}}& 3& |\underset{―}{2}\\ & & & & \boxed{\text{1}}& \boxed{\text{1}}\end{array}$

La primera xifra del nombre buscat és el resultat de l'última divisió, la segona la resta de la mateixa, i la tercera i la quarta xifres són les restes de les divisions anteriors, així que el nombre obtingut és:

$(13{)}_{10}=(1101{)}_2$

Es pot tornar a comprovar que els càlculs són correctes descomposant el nombre obtingut:

$(1101{)}_2=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=8+4+0+1=13$

Exemple

Transformar el $47$ a sistema hexadecimal:

Hexadecimal implica base $16$, així que caldrà dividir $47$ entre $16$ tantes vegades com es pugui per trobar el número:

$(47{)}_{10}\Rightarrow \begin{array}{rcl}& 47& |\underset{―}{16}\\ & \boxed{\text{15}}& \boxed{\text{2}}\end{array}$

Per tant tenim:

$(47{)}_{10}=(2(15){)}_{16}=(2F{)}_{16}$

Cal recordar que el símbol per a expressar $15$ en hexadecimal és $F$.

Descompondre el nombre en potències de $16$ permet corroborar que el resultat és correcte:

$(2F{)}_{16}=2\cdot {16}^1+15\cdot {16}^0=32+15=47$

Exemple

Per transformar el següent número a sistema binari:

$(115{)}_6$

Primer cal passar-ho a sistema decimal i després convertir-lo a binari realitzant totes les possibles divisions enteres entre $2$.

$(115{)}_6=1\cdot 6^2+1\cdot 6^1+5\cdot 6^0=36+6+5=47$

$\begin{array}{rclrclrcl}& (47{)}_{10}\Rightarrow & 47& |\underset{―}{2}& & & & & \\ & & \boxed{\text{1}}& 23& |\underset{―}{2}& & & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& 11& |\underset{―}{2}& & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& 5& |\underset{―}{2}& & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& 2& |\underset{―}{2}\\ & & & & & & \boxed{\text{0}}& \boxed{\text{1}}\end{array}$

D'aquesta manera:

$(115{)}_6=(101111{)}_2$