A l'escola s'ensenya que hi ha $$10$$ símbols o xifres que s'utilitzen per escriure tots els números, es tracta de $$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$$ i $$9$$.
Per escriure nombres més grans que $$9$$ es repeteixen les mateixes xifres però en un ordre determinat.
Per exemple, usant $$1$$ i $$3$$ es poden escriure el $$13$$ i el $$31$$, de manera que la posició en què queden col·locats els símbols o xifres determina el valor del nombre final: $$13$$ és menor que $$31$$.
Segons aquest mètode, un nombre consta d'unitats, desenes, centenes, etc.
$$13$$ consta d'$$1$$ desena i $$3$$ unitats.
$$31$$ consta de $$3$$ desenes i $$1$$ unitat.
$$131$$ consta d'$$1$$ centena, $$3$$ desenes i $$1$$ unitat.
Aquesta classificació també es pot expressar així:
Tretze és una vegada deu més tres.
Trenta-un és tres vegades deu més un.
Cent trenta-un és una vegada cent més tres vegades deu més un.
Numèricament, les classificacions anteriors s'escriuen de la manera següent:
$$13=1\cdot10+3$$
$$31=3\cdot10+1$$
$$131=1\cdot100+3\cdot10+1$$
Una manera equivalent d'expressar el mateix és:
$$13=1\cdot10^1+3\cdot10^0$$
$$31=3\cdot10^1+1\cdot10^0$$
$$131=1\cdot10^2+3\cdot10^1+1\cdot10^0$$
Els tres números poden descompondre's en potències de $$10$$. Per representar les unitats es pot usar $$10$$ elevat a $$0$$, ja que $$a^0=1.$$
Les desenes es representen amb $$10$$ elevat a $$1$$ i les centenes amb $$10$$ elevat a $$2$$. Si n'hi ha, les unitats de miler es representarien amb $$10$$ elevat a $$3$$, les desenes de miler amb $$10$$ elevat a $$4$$, i així successivament ...
$$13.031=1\cdot10^4+3\cdot10^3+0\cdot10^2+3\cdot10^1+1\cdot10^0$$
En aquest cas, l'absència de centenars es representa multiplicant per $$0$$ la potència que correspon a les centenes ($$10$$ elevat a $$2$$).
Tots aquests números estan expressats en el sistema de numeració decimal i per això es poden descompondre en potències de $$10$$. Es tracta del sistema més conegut per explicar i agrupar objectes, però no és l'únic.
Els següents números estan expressats en sistemes diferents al decimal:
$$(11011)_2$$
$$(1B)_{16}$$
Encara que ambdós són equivalents al mateix nombre decimal, el $$27$$.
En el primer cas, $$(11011)_2$$, el subíndex indica que la base del sistema és $$2$$, també conegut com a sistema binari. En aquest sistema es fan servir només dos símbols o xifres, el $$0$$ i l'$$1$$, i la descomposició es realitza en potències de $$2$$: $$$(11011)_2=1\cdot2^4+1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0$$$
És a dir, aquest número es descompon en $$1$$ grup de $$16$$, més $$1$$ de $$8$$, cap de $$4, 1$$ de $$2$$ i $$1$$ de $$1$$.
Si es resol l'operació s'obté el nombre equivalent "traduït" al sistema decimal:
$$16+8+0+2+1=27$$
Per a descomposar amb facilitat només cal tenir en compte que la primera xifra del nombre representa la màxima potència d'aquest, i que l'exponent va decreixent a mesura que avancem cap a la dreta.
Del cas anterior es dedueix que un nombre amb $$5$$ xifres té $$5$$ potències, que aniran decreixent del grau $$4$$ al $$0$$.
El segon exemple és la mateixa xifra, $$27$$, però expressada en el sistema de numeració en base $$16$$ o hexadecimal, tal com indica el subíndex: $$(1B)_{16}$$
La base també indica el nombre de símbols o xifres que s'usen en el sistema. El sistema binari era base $$2$$ i feia servir dues xifres: $$0$$ i $$1$$.
A l'hexadecimal, se n'usen $$16$$, del $$0$$ al $$15$$, però per evitar confusions es recorre a les lletres de la A a la F per referir-se als símbols del $$10$$ al $$15$$. Amb el que ara es pot entendre que, en l'exemple, B representa la xifra $$11$$.
En el sistema hexadecimal, la descomposició es realitza en potències de $$16$$: $$$(1B)_{16}=(1(11))_{16}=1\cdot16^1+11\cdot16^0=16+11=27$$$
De manera que $$1B$$ en sistema hexadecimal implica tenir $$1$$ grup de $$16$$ més $$11$$ d'$$1$$.
Els següents exemples permetran agafar més pràctica a l'hora de buscar l'equivalent decimal de nombres expressats en altres sistemes.
$$(111)_3$$
A simple vista, s'observa que és un nombre en base $$3$$ (sistema ternari), de manera que utilitza $$3$$ símbols o xifres $$(0, 1$$ i $$2)$$ i la descomposició es realitza en potències de $$3$$: $$$(111)_3=1\cdot3^2+1\cdot3^1+1\cdot3^0=9+3+1=13$$$
Com que el número té $$3$$ xifres, les potències decreixeran de $$2$$ a $$0$$, de manera que el número consta d'$$1$$ grup de $$9, 1$$ de $$3$$ i $$1$$ de $$1$$.
$$(23)_5$$
Es un número en base $$5$$, que, per tant, fa servir $$5$$ símbols: $$0, 1, 2, 3$$ i $$4$$. La descomposició es realitza en potències de $$5$$:
$$$(23)_5=2\cdot5^1+3\cdot5^0=10+3=13$$$
$$(15)_8$$
És un número en base $$8$$ o octal, utiliza $$8$$ símbols (del $$0$$ al $$7$$) i la descomposició es fa en potències de $$8$$:
$$$(15)_8=1\cdot8^1+5\cdot8^0=8+5=13$$$
Aquests tres últims exemples fan referència al mateix nombre decimal, el $$13$$.