Sistema de numeració decimal, binari i hexadecimal

A l'escola s'ensenya que hi ha $10$ símbols o xifres que s'utilitzen per escriure tots els números, es tracta de $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ i $9$ .

Per escriure nombres més grans que $9$ es repeteixen les mateixes xifres però en un ordre determinat.

Per exemple, usant $1$ i $3$ es poden escriure el $13$ i el $31$ , de manera que la posició en què queden col·locats els símbols o xifres determina el valor del nombre final: $13$ és menor que $31$ .

Segons aquest mètode, un nombre consta d'unitats, desenes, centenes, etc.

Exemple

$13$ consta d' $1$ desena i $3$ unitats.

$31$ consta de $3$ desenes i $1$ unitat.

$131$ consta d' $1$ centena, $3$ desenes i $1$ unitat.

Aquesta classificació també es pot expressar així:

Tretze és una vegada deu més tres.

Trenta-un és tres vegades deu més un.

Cent trenta-un és una vegada cent més tres vegades deu més un.

Numèricament, les classificacions anteriors s'escriuen de la manera següent:

$13 = 1 \cdot 10 + 3$

$31 = 3 \cdot 10 + 1$

$131 = 1 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1$

Una manera equivalent d'expressar el mateix és:

$13 = 1 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}$

$31 = 3 \cdot 10^{1} + 1 \cdot 10^{0}$

$131 = 1 \cdot 10^{2} + 3 \cdot 10^{1} + 1 \cdot 10^{0}$

Els tres números poden descompondre's en potències de $10$ . Per representar les unitats es pot usar $10$ elevat a $0$ , ja que $a^{0} = 1.$

Les desenes es representen amb $10$ elevat a $1$ i les centenes amb $10$ elevat a $2$ . Si n'hi ha, les unitats de miler es representarien amb $10$ elevat a $3$ , les desenes de miler amb $10$ elevat a $4$ , i així successivament ...

Exemple

$13.031 = 1 \cdot 10^{4} + 3 \cdot 10^{3} + 0 \cdot 10^{2} + 3 \cdot 10^{1} + 1 \cdot 10^{0}$

En aquest cas, l'absència de centenars es representa multiplicant per $0$ la potència que correspon a les centenes ( $10$ elevat a $2$ ).

Tots aquests números estan expressats en el sistema de numeració decimal i per això es poden descompondre en potències de $10$ . Es tracta del sistema més conegut per explicar i agrupar objectes, però no és l'únic.

Exemple

Els següents números estan expressats en sistemes diferents al decimal:

$(11011)_{2}$

$(1 B)_{16}$

Encara que ambdós són equivalents al mateix nombre decimal, el $27$ .

En el primer cas, $(11011)_{2}$ , el subíndex indica que la base del sistema és $2$ , també conegut com a sistema binari. En aquest sistema es fan servir només dos símbols o xifres, el $0$ i l' $1$ , i la descomposició es realitza en potències de $2$ : $(11011)_{2} = 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

És a dir, aquest número es descompon en $1$ grup de $16$ , més $1$ de $8$ , cap de $4, 1$ de $2$ i $1$ de $1$ .

Si es resol l'operació s'obté el nombre equivalent "traduït" al sistema decimal:

$16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27$

Per a descomposar amb facilitat només cal tenir en compte que la primera xifra del nombre representa la màxima potència d'aquest, i que l'exponent va decreixent a mesura que avancem cap a la dreta.

Del cas anterior es dedueix que un nombre amb $5$ xifres té $5$ potències, que aniran decreixent del grau $4$ al $0$ .

El segon exemple és la mateixa xifra, $27$ , però expressada en el sistema de numeració en base $16$ o hexadecimal, tal com indica el subíndex: $(1 B)_{16}$

La base també indica el nombre de símbols o xifres que s'usen en el sistema. El sistema binari era base $2$ i feia servir dues xifres: $0$ i $1$ .

A l'hexadecimal, se n'usen $16$ , del $0$ al $15$ , però per evitar confusions es recorre a les lletres de la A a la F per referir-se als símbols del $10$ al $15$ . Amb el que ara es pot entendre que, en l'exemple, B representa la xifra $11$ .

En el sistema hexadecimal, la descomposició es realitza en potències de $16$ : $(1 B)_{16} = (1 (11))_{16} = 1 \cdot 16^{1} + 11 \cdot 16^{0} = 16 + 11 = 27$

De manera que $1 B$ en sistema hexadecimal implica tenir $1$ grup de $16$ més $11$ d' $1$ .

Els següents exemples permetran agafar més pràctica a l'hora de buscar l'equivalent decimal de nombres expressats en altres sistemes.

Exemple

$(111)_{3}$

A simple vista, s'observa que és un nombre en base $3$ (sistema ternari), de manera que utilitza $3$ símbols o xifres $(0, 1$ i $2)$ i la descomposició es realitza en potències de $3$ : $(111)_{3} = 1 \cdot 3^{2} + 1 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{0} = 9 + 3 + 1 = 13$

Com que el número té $3$ xifres, les potències decreixeran de $2$ a $0$ , de manera que el número consta d' $1$ grup de $9, 1$ de $3$ i $1$ de $1$ .

Exemple

$(23)_{5}$

Es un número en base $5$ , que, per tant, fa servir $5$ símbols: $0, 1, 2, 3$ i $4$ . La descomposició es realitza en potències de $5$ :

$(23)_{5} = 2 \cdot 5^{1} + 3 \cdot 5^{0} = 10 + 3 = 13$

Exemple

$(15)_{8}$

És un número en base $8$ o octal, utiliza $8$ símbols (del $0$ al $7$ ) i la descomposició es fa en potències de $8$ :

$(15)_{8} = 1 \cdot 8^{1} + 5 \cdot 8^{0} = 8 + 5 = 13$

Aquests tres últims exemples fan referència al mateix nombre decimal, el $13$ .