Sistema de numeración decimal, binario y hexadecimal

En el colegio se enseña que hay $10$ símbolos o cifras que se utilizan para escribir todos los números, se trata de $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ y $9$ .

Para escribir números mayores que $9$ se repiten las mismas cifras pero en un orden determinado.

Por ejemplo, usando $1$ y $3$ se pueden escribir el $13$ y el $31$ , de modo que la posición en la que quedan colocados los símbolos o cifras determina el valor del número final: $13$ es menor que $31$ .

Según este método, un número consta de unidades, decenas, centenas, etc.

Ejemplo

$13$ consta de $1$ decena y $3$ unidades.

$31$ consta de $3$ decenas y $1$ unidad.

$131$ consta de $1$ centena, $3$ decenas y $1$ unidad.

Esta clasificación también se puede expresar así:

Trece es una vez diez más tres.

Treinta y uno es tres veces diez más uno.

Ciento treinta y uno es una vez cien más tres veces diez más uno.

Numéricamente, las clasificaciones anteriores se escriben del siguiente modo:

$13 = 1 \cdot 10 + 3$

$31 = 3 \cdot 10 + 1$

$131 = 1 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1$

Una forma equivalente de expresar lo mismo es:

$13 = 1 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}$

$31 = 3 \cdot 10^{1} + 1 \cdot 10^{0}$

$131 = 1 \cdot 10^{2} + 3 \cdot 10^{1} + 1 \cdot 10^{0}$

Los tres números pueden descomponerse en potencias de $10$ . Para representar las unidades se puede usar $10$ elevado a $0$ , ya que, tal y como se explica en el tema Potencias y Raíces: $a^{0} = 1.$

Las decenas se representan con $10$ elevado a $1$ y las centenas con $10$ elevado a $2$ . Si las hubiera, las unidades de millar se representarían con $10$ elevado a $3$ , las decenas de millar con $10$ elevado a $4$ , y así sucesivamente...

Ejemplo

$13.031 = 1 \cdot 10^{4} + 3 \cdot 10^{3} + 0 \cdot 10^{2} + 3 \cdot 10^{1} + 1 \cdot 10^{0}$

En este caso, la ausencia de centenas se representa multiplicando por $0$ la potencia que corresponde a las centenas ( $10$ elevado a $2$ ).

Todos estos números están expresados en el sistema de numeración decimal y por eso se pueden descomponer en potencias de $10$ . Se trata del sistema más conocido para contar y agrupar objetos, pero no es el único.

Ejemplo

Los siguientes números están expresados en sistemas diferentes al decimal:

$(11011)_{2}$

$(1 B)_{16}$

Aunque ambos son equivalentes al mismo número decimal, el $27$ .

En el primer caso, $(11011)_{2}$ , el subíndice indica que la base del sistema es $2$ , también conocido como sistema binario. En este sistema se usan sólo dos símbolos o cifras, el $0$ y el $1$ , y la descomposición se realiza en potencias de $2$ : $(11011)_{2} = 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

Es decir, este número se descompone en $1$ grupo de $16$ , más $1$ de $8$ , ninguno de $4, 1$ de $2$ y $1$ de $1$ .

Si se resuelve la operación se obtiene el número equivalente "traducido" al sistema decimal:

$16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27$

Para descomponer con soltura sólo hay que tener en cuenta que la primera cifra del número representa la máxima potencia del mismo, y que el exponente va decreciendo a medida que avanzamos hacia la derecha.

Del caso anterior se deduce que un número con $5$ cifras tiene $5$ potencias, que irán decreciendo del grado $4$ al $0$ .

El segundo ejemplo es la misma cifra, $27$ , pero expresada en el sistema de numeración en base $16$ o hexadecimal, tal como indica el subíndice: $(1 B)_{16}$

La base también indica el número de símbolos o cifras que se usan en el sistema. El sistema binario era base $2$ y usaba dos cifras: $0$ y $1$ .

En el hexadecimal, se usan $16$ , del $0$ al $15$ , pero para evitar confusiones se recurre a las letras de la A a la F para referirse a los símbolos del $10$ al $15$ . Con lo que ahora se puede entender que, en el ejemplo, B representa la cifra $11$ .

En el sistema hexadecimal, la descomposición se realiza en potencias de $16$ : $(1 B)_{16} = (1 (11))_{16} = 1 \cdot 16^{1} + 11 \cdot 16^{0} = 16 + 11 = 27$

De modo que $1 B$ en sistema hexadecimal implica tener $1$ grupo de $16$ más $11$ de $1$ .

Los siguientes ejemplos permitirán coger más práctica a la hora de buscar el equivalente decimal de números expresados en otros sistemas.

Ejemplo

$(111)_{3}$

A simple vista, se observa que es un número en base $3$ (sistema ternario), de modo que usa $3$ símbolos o cifras $(0, 1$ y $2)$ y la descomposición se realiza en potencias de $3$ : $(111)_{3} = 1 \cdot 3^{2} + 1 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{0} = 9 + 3 + 1 = 13$

Como el número tiene $3$ cifras, las potencias decrecerán de $2$ a $0$ , de modo que el número consta de $1$ grupo de $9, 1$ de $3$ y $1$ de $1$ .

Ejemplo

$(23)_{5}$

Es un número en base $5$ , que, por tanto, usa $5$ símbolos: $0, 1, 2, 3$ y $4$ . La descomposición se realiza en potencias de $5$ :

$(23)_{5} = 2 \cdot 5^{1} + 3 \cdot 5^{0} = 10 + 3 = 13$

Ejemplo

$(15)_{8}$

Es un número en base $8$ u octal, utiliza $8$ símbolos (del $0$ al $7$ ) y la descomposición se hace en potencias de $8$ :

$(15)_{8} = 1 \cdot 8^{1} + 5 \cdot 8^{0} = 8 + 5 = 13$

Estos tres últimos ejemplos hacen referencia al mismo número decimal, el $13$ .