En el colegio se enseña que hay $$10$$ símbolos o cifras que se utilizan para escribir todos los números, se trata de $$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$$ y $$9$$.
Para escribir números mayores que $$9$$ se repiten las mismas cifras pero en un orden determinado.
Por ejemplo, usando $$1$$ y $$3$$ se pueden escribir el $$13$$ y el $$31$$, de modo que la posición en la que quedan colocados los símbolos o cifras determina el valor del número final: $$13$$ es menor que $$31$$.
Según este método, un número consta de unidades, decenas, centenas, etc.
$$13$$ consta de $$1$$ decena y $$3$$ unidades.
$$31$$ consta de $$3$$ decenas y $$1$$ unidad.
$$131$$ consta de $$1$$ centena, $$3$$ decenas y $$1$$ unidad.
Esta clasificación también se puede expresar así:
Trece es una vez diez más tres.
Treinta y uno es tres veces diez más uno.
Ciento treinta y uno es una vez cien más tres veces diez más uno.
Numéricamente, las clasificaciones anteriores se escriben del siguiente modo:
$$13=1\cdot10+3$$
$$31=3\cdot10+1$$
$$131=1\cdot100+3\cdot10+1$$
Una forma equivalente de expresar lo mismo es:
$$13=1\cdot10^1+3\cdot10^0$$
$$31=3\cdot10^1+1\cdot10^0$$
$$131=1\cdot10^2+3\cdot10^1+1\cdot10^0$$
Los tres números pueden descomponerse en potencias de $$10$$. Para representar las unidades se puede usar $$10$$ elevado a $$0$$, ya que, tal y como se explica en el tema Potencias y Raíces: $$a^0=1.$$
Las decenas se representan con $$10$$ elevado a $$1$$ y las centenas con $$10$$ elevado a $$2$$. Si las hubiera, las unidades de millar se representarían con $$10$$ elevado a $$3$$, las decenas de millar con $$10$$ elevado a $$4$$, y así sucesivamente...
$$13.031=1\cdot10^4+3\cdot10^3+0\cdot10^2+3\cdot10^1+1\cdot10^0$$
En este caso, la ausencia de centenas se representa multiplicando por $$0$$ la potencia que corresponde a las centenas ($$10$$ elevado a $$2$$).
Todos estos números están expresados en el sistema de numeración decimal y por eso se pueden descomponer en potencias de $$10$$. Se trata del sistema más conocido para contar y agrupar objetos, pero no es el único.
Los siguientes números están expresados en sistemas diferentes al decimal:
$$(11011)_2$$
$$(1B)_{16}$$
Aunque ambos son equivalentes al mismo número decimal, el $$27$$.
En el primer caso, $$(11011)_2$$, el subíndice indica que la base del sistema es $$2$$, también conocido como sistema binario. En este sistema se usan sólo dos símbolos o cifras, el $$0$$ y el $$1$$, y la descomposición se realiza en potencias de $$2$$: $$$(11011)_2=1\cdot2^4+1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0$$$
Es decir, este número se descompone en $$1$$ grupo de $$16$$, más $$1$$ de $$8$$, ninguno de $$4, 1$$ de $$2$$ y $$1$$ de $$1$$.
Si se resuelve la operación se obtiene el número equivalente "traducido" al sistema decimal:
$$16+8+0+2+1=27$$
Para descomponer con soltura sólo hay que tener en cuenta que la primera cifra del número representa la máxima potencia del mismo, y que el exponente va decreciendo a medida que avanzamos hacia la derecha.
Del caso anterior se deduce que un número con $$5$$ cifras tiene $$5$$ potencias, que irán decreciendo del grado $$4$$ al $$0$$.
El segundo ejemplo es la misma cifra, $$27$$, pero expresada en el sistema de numeración en base $$16$$ o hexadecimal, tal como indica el subíndice: $$(1B)_{16}$$
La base también indica el número de símbolos o cifras que se usan en el sistema. El sistema binario era base $$2$$ y usaba dos cifras: $$0$$ y $$1$$.
En el hexadecimal, se usan $$16$$, del $$0$$ al $$15$$, pero para evitar confusiones se recurre a las letras de la A a la F para referirse a los símbolos del $$10$$ al $$15$$. Con lo que ahora se puede entender que, en el ejemplo, B representa la cifra $$11$$.
En el sistema hexadecimal, la descomposición se realiza en potencias de $$16$$: $$$(1B)_{16}=(1(11))_{16}=1\cdot16^1+11\cdot16^0=16+11=27$$$
De modo que $$1B$$ en sistema hexadecimal implica tener $$1$$ grupo de $$16$$ más $$11$$ de $$1$$.
Los siguientes ejemplos permitirán coger más práctica a la hora de buscar el equivalente decimal de números expresados en otros sistemas.
$$(111)_3$$
A simple vista, se observa que es un número en base $$3$$ (sistema ternario), de modo que usa $$3$$ símbolos o cifras $$(0, 1$$ y $$2)$$ y la descomposición se realiza en potencias de $$3$$: $$$(111)_3=1\cdot3^2+1\cdot3^1+1\cdot3^0=9+3+1=13$$$
Como el número tiene $$3$$ cifras, las potencias decrecerán de $$2$$ a $$0$$, de modo que el número consta de $$1$$ grupo de $$9, 1$$ de $$3$$ y $$1$$ de $$1$$.
$$(23)_5$$
Es un número en base $$5$$, que, por tanto, usa $$5$$ símbolos: $$0, 1, 2, 3$$ y $$4$$. La descomposición se realiza en potencias de $$5$$:
$$$(23)_5=2\cdot5^1+3\cdot5^0=10+3=13$$$
$$(15)_8$$
Es un número en base $$8$$ u octal, utiliza $$8$$ símbolos (del $$0$$ al $$7$$) y la descomposición se hace en potencias de $$8$$:
$$$(15)_8=1\cdot8^1+5\cdot8^0=8+5=13$$$
Estos tres últimos ejemplos hacen referencia al mismo número decimal, el $$13$$.