Conversión de base decimal a otro sistema de numeración

Ejemplo

¿Cómo se expresaría el número $7$ en un sistema de numeración en base $5$?

Para ello habrá que dividir $7$ entre $5$ y retener el cociente y el resto:

$(7{)}_{10}\Rightarrow \begin{array}{rcl}& 7& |\underset{―}{5}\\ & \boxed{\text{2}}& \boxed{\text{1}}\end{array}$

El número buscado tiene como primera cifra el resultado de la división, y como segunda, el resto.

Así, el equivalente de $7$ en base $5$ será:

$(12{)}_5$

Se puede comprobar que la operación es correcta descomponiendo el número tal y como se ha visto en el nivel anterior:

$(12{)}_5=1\cdot 5^1+2\cdot 5^0=5+2=7$

Ejemplo

Siguiendo en la misma línea, el número $13$ equivale en binario (sistema en base $2$) a:

$\begin{array}{rclrclr}& (13{)}_{10}\Rightarrow & 13& |\underset{―}{2}& & & \\ & & \boxed{\text{1}}& 6& |\underset{―}{2}& \\ & & & \boxed{\text{0}}& 3& |\underset{―}{2}\\ & & & & \boxed{\text{1}}& \boxed{\text{1}}\end{array}$

La primera cifra del número buscado es el resultado de la última división, la segunda el resto de la misma, y la tercera y la cuarta cifras son los restos de las divisiones anteriores, así que el número obtenido es:

$(13{)}_{10}=(1101{)}_2$

Se puede volver a comprobar que los cálculos son correctos descomponiendo el número obtenido:

$(1101{)}_2=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=8+4+0+1=13$

Ejemplo

Transformar el $47$ a sistema hexadecimal:

Hexadecimal implica base $16$, así que habrá que dividir $47$ entre $16$ tantas veces como se pueda para hallar el número:

$(47{)}_{10}\Rightarrow \begin{array}{rcl}& 47& |\underset{―}{16}\\ & \boxed{\text{15}}& \boxed{\text{2}}\end{array}$

Por lo que:

$(47{)}_{10}=(2(15){)}_{16}=(2F{)}_{16}$

Cabe recordar que el símbolo para expresar $15$ en hexadecimal es $F$.

Descomponer el número en potencias de $16$ permite corroborar que el resultado es correcto:

$(2F{)}_{16}=2\cdot {16}^1+15\cdot {16}^0=32+15=47$

Ejemplo

Para transformar el siguiente número a sistema binario:

$(115{)}_6$

Primero hay que pasarlo a sistema decimal y luego convertirlo a binario realizando todas las posibles divisiones enteras entre $2$.

$(115{)}_6=1\cdot 6^2+1\cdot 6^1+5\cdot 6^0=36+6+5=47$

$\begin{array}{rclrclrcl}& (47{)}_{10}\Rightarrow & 47& |\underset{―}{2}& & & & & \\ & & \boxed{\text{1}}& 23& |\underset{―}{2}& & & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& 11& |\underset{―}{2}& & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& 5& |\underset{―}{2}& & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& 2& |\underset{―}{2}\\ & & & & & & \boxed{\text{0}}& \boxed{\text{1}}\end{array}$

De modo que:

$(115{)}_6=(101111{)}_2$