Desviació respecte a la mitjana
Com el seu nom indica, la desviació respecte a la mitjana dóna informació de la proximitat de les dades del conjunt. Intuïtivament, ja es veu que es pot calcular com la diferència entre una dada i la mitjana de les dades:: $$$D_i=x_i-\overline{x}$$$
Es pot observar que per a calcular aquesta desviació, si es disposa de la mitjana, només es requereix aquell valor la desviació del qual es vol calcular.
També cal comentar que tenint una de les dades i la seva desviació respecte a la mitjana, es pot aclarir la mitjana aplicant una simple resta:$$$\overline{x}=x_i-D_i$$$i posteriorment utilitzar-la per calcular les altres desviacions.
A l'examen de matemàtiques, en Pere ha tret un $$9$$, la mitjana de la classe és de $$6.7$$. Calcular la desviació respecte a la mitjana de la nota d'en Pere.
Aplicant la fórmula $$$D_i=x_i-\overline{x}=9-6.7=2.3$$$
El signe de la desviació respecte a la mitjana indica si el valor està per sobre de la mitjana (signe positiu), o per sota de la mitjana (signe negatiu).
El valor absolut de la desviació respecte a la mitjana indica fins on hi ha el valor de la mitjana. Un valor igual a zero indica que el valor coincideix amb la mitjana, mentre que un valor elevat respecte a les altres desviacions informa que la dada està allunyada de les altres dades.
En un partit de bàsquet, es té la següent anotació en els jugadors d'un equip: $$0, 2, 4, 5, 8, 10, 10, 15, 38$$. Calcular la desviació respecte a la mitjana de les puntuacions dels jugadors de l'equip.
Resolució: Aplicant la fórmula$$$\displaystyle \overline{x}=\frac{0+2+4+5+8+10+10+15+38}{9}=\frac{92}{9}=10.22$$$s'obté la mitjana. Les desviacions es poden representar en una taula:
| Puntuació | $$D_i=x_i-\overline{x}=x_i-10.22$$ |
| $$0$$ | $$-10.22$$ |
| $$2$$ | $$-8.22$$ |
| $$4$$ | $$-6.22$$ |
| $$5$$ | $$-5.22$$ |
| $$8$$ | $$-2.22$$ |
| $$10$$ | $$-0.22$$ |
| $$10$$ | $$-0.22$$ |
| $$15$$ | $$4.78$$ |
| $$38$$ | $$27.78$$ |
A la següent taula es mostren les notes d'en Joan als exàmens de matemàtiques durant l'any. Calcular les diferents desviacions respecte a la mitjana.
| Nota | $$f_i$$ |
| $$3$$ | $$1$$ |
| $$4$$ | $$3$$ |
| $$5$$ | $$4$$ |
| $$6$$ | $$2$$ |
| $$7$$ | $$3$$ |
| $$9$$ | $$1$$ |
Primer es calcula la mitjana $$$\displaystyle \overline{x}=\frac{3\cdot 1+4\cdot 3+5\cdot 4+6\cdot 2+7\cdot 3+9\cdot 1}{1+3+4+2+3+1}=\frac{77}{14}=5.5$$$ Seguidament, ja es pot calcular la desviació respecte a la mitjana, incloent a la taula:
| Nota | $$f_i$$ | $$D_i=x_i-\overline{x}=x_i-5.5$$ |
| $$3$$ | $$1$$ | $$-2,5$$ |
| $$4$$ | $$3$$ | $$-1,5$$ |
| $$5$$ | $$4$$ | $$-0,5$$ |
| $$6$$ | $$2$$ | $$0,5$$ |
| $$7$$ | $$3$$ | $$1,5$$ |
| $$9$$ | $$1$$ | $$3,5$$ |
Desviació mitjana
La desviació mitjana és la mitjana aritmètica dels valors absoluts de les desviacions respecte a la mitjana.
Es simbolitza per $$D_{\overline{x}}$$ i es calcula aplicant la fórmula $$$\displaystyle D_{\overline{x}}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{N} |x_i-\overline{x}|}{N}=\frac{|x_1-\overline{x}|+|x_2-\overline{x}|+\ldots+|x_N-\overline{x}|}{N}$$$ Informa de com estan de disperses (o no) les dades. Una desviació mitjana elevada implica molta variabilitat en les dades, mentre que una desviació mitjana igual a zero implica que tots els valors són iguals i per tant coincideixen amb la mitjana.
Els resultats d'en Jordi a dibuix tècnic al llarg del curs són els següents: $$8, 7, 9, 8, 8, 10, 9, 7, 4, 9$$. Calculeu la desviació mitjana.
El primer pas consisteix a trobar la mitjana: $$$\displaystyle \overline{x}=\frac{8+7+9+8+8+10+9+7+4+9}{10}=\frac{79}{10}=7.9$$$ Seguidament s'aplica la definició: $$$\displaystyle D_{\overline{x}}=\frac{|8-7.9|+|7-7.9|+|9-7.9|+|8-7.9|+|8-7.9|+}{10}=\frac{+|10-7.9|+|9-7.9|+|7-7.9|+|9-7.9|}{10}=\\=\frac{0.1+0.9+1.1+0.1+0.1+2.1+1.1+0.9+3.9+1.1}{10}=\frac{11.4}{10}=1.14$$$
En un partit de bàsquet, es té la següent anotació en els jugadors d'un equip: $$0, 2, 4, 5, 8, 10, 10, 15, 38$$. Calculeu la desviació mitjana de les puntuacions dels jugadors de l'equip.
Aplicant la fórmula $$$\displaystyle \overline{x}=\frac{0+2+4+5+8+10+10+15+38}{9}=\frac{92}{9}=10.22$$$ s'obté la mitjana. Les desviacions es poden representar en una taula:
| Puntuació | $$D_i=x_i-\overline{x}-10,22$$ |
| $$0$$ | $$-10.22$$ |
| $$2$$ | $$-8.22$$ |
| $$4$$ | $$-6.22$$ |
| $$5$$ | $$-5.22$$ |
| $$8$$ | $$-2.22$$ |
| $$10$$ | $$-0.22$$ |
| $$10$$ | $$-0.22$$ |
| $$15$$ | $$4.78$$ |
| $$38$$ | $$27.78$$ |
Aplicant la fórmula $$$\displaystyle D_{\overline{x}}=\frac{10.22+8.22+6.22+5.22+2.22+0.22+0.22+4.78+27.78}{9}=\frac{65.1}{9}=7.23$$$ s'obté la desviació mitjana.
Càlcul de la desviació mitjana per dades agrupades
Si les $$N$$ dades s'agrupen en $$n$$ classes s'aplica la fórmula $$$\displaystyle D_{\overline{x}}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n |x_i-\overline{x}| f_i}{N}=\frac{|x_1- \overline{x}|f_1+|x_2- \overline{x}|f_2+\ldots+|x_n- \overline{x}|f_n}{N}$$$
L'alçada en cm dels jugadors d'un equip de bàsquet està en la següent taula. Calculeu la desviació mitjana.
| $$x_i$$ | $$f_i$$ | |
| $$[160,170)$$ | $$165$$ | $$1$$ |
| $$[170,180)$$ | $$175$$ | $$2$$ |
| $$[180,190)$$ | $$185$$ | $$4$$ |
| $$[190,200)$$ | $$195$$ | $$3$$ |
| $$[200,210)$$ | $$205$$ | $$2$$ |
Primer de tot s'ompla la següent taula
| $$x_i$$ | $$f_i$$ | $$x_if_i$$ | $$|x_i-\overline{x}|$$ | $$|x_i-\overline{x}|f_i$$ | |
| $$[160,170)$$ | $$165$$ | $$1$$ | $$165$$ | $$22.5$$ | $$22.5$$ |
| $$[170,180)$$ | $$175$$ | $$2$$ | $$350$$ | $$12.5$$ | $$25$$ |
| $$[180,190)$$ | $$185$$ | $$4$$ | $$740$$ | $$2.5$$ | $$10$$ |
| $$[190,200)$$ | $$195$$ | $$3$$ | $$585$$ | $$7.5$$ | $$22.5$$ |
| $$[200,210)$$ | $$205$$ | $$2$$ | $$410$$ | $$17.5$$ | $$35$$ |
| $$12$$ | $$2250$$ | $$115$$ |
Es calcula la mitjana $$\overline{x}=\displaystyle\frac{2250}{12}=187.5$$ per poder omplir les dues últimes columnes.
Es calcula finalment la desviació mitjana: $$\displaystyle D_{\overline{x}}=\frac{115}{12}=9.58$$.