Desviació respecte a la mitjana i desviació mitjana

Desviació respecte a la mitjana

Com el seu nom indica, la desviació respecte a la mitjana dóna informació de la proximitat de les dades del conjunt. Intuïtivament, ja es veu que es pot calcular com la diferència entre una dada i la mitjana de les dades:: $D_{i} = x_{i} - \overset{―}{x}$

Es pot observar que per a calcular aquesta desviació, si es disposa de la mitjana, només es requereix aquell valor la desviació del qual es vol calcular.

També cal comentar que tenint una de les dades i la seva desviació respecte a la mitjana, es pot aclarir la mitjana aplicant una simple resta: $\overset{―}{x} = x_{i} - D_{i}$ i posteriorment utilitzar-la per calcular les altres desviacions.

Exemple

A l'examen de matemàtiques, en Pere ha tret un $9$ , la mitjana de la classe és de $6.7$ . Calcular la desviació respecte a la mitjana de la nota d'en Pere.

Aplicant la fórmula $D_{i} = x_{i} - \overset{―}{x} = 9 - 6.7 = 2.3$

El signe de la desviació respecte a la mitjana indica si el valor està per sobre de la mitjana (signe positiu), o per sota de la mitjana (signe negatiu).

El valor absolut de la desviació respecte a la mitjana indica fins on hi ha el valor de la mitjana. Un valor igual a zero indica que el valor coincideix amb la mitjana, mentre que un valor elevat respecte a les altres desviacions informa que la dada està allunyada de les altres dades.

Exemple

En un partit de bàsquet, es té la següent anotació en els jugadors d'un equip: $0, 2, 4, 5, 8, 10, 10, 15, 38$ . Calcular la desviació respecte a la mitjana de les puntuacions dels jugadors de l'equip.

Resolució: Aplicant la fórmula $\overset{―}{x} = \frac{0 + 2 + 4 + 5 + 8 + 10 + 10 + 15 + 38}{9} = \frac{92}{9} = 10.22$ s'obté la mitjana. Les desviacions es poden representar en una taula:

Puntuació	$D_{i} = x_{i} - \overset{―}{x} = x_{i} - 10.22$
$0$	$- 10.22$
$2$	$- 8.22$
$4$	$- 6.22$
$5$	$- 5.22$
$8$	$- 2.22$
$10$	$- 0.22$
$10$	$- 0.22$
$15$	$4.78$
$38$	$27.78$

Exemple

A la següent taula es mostren les notes d'en Joan als exàmens de matemàtiques durant l'any. Calcular les diferents desviacions respecte a la mitjana.

Nota	$f_{i}$
$3$	$1$
$4$	$3$
$5$	$4$
$6$	$2$
$7$	$3$
$9$	$1$

Primer es calcula la mitjana $\overset{―}{x} = \frac{3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + 9 \cdot 1}{1 + 3 + 4 + 2 + 3 + 1} = \frac{77}{14} = 5.5$ Seguidament, ja es pot calcular la desviació respecte a la mitjana, incloent a la taula:

Nota	$f_{i}$	$D_{i} = x_{i} - \overset{―}{x} = x_{i} - 5.5$
$3$	$1$	$- 2, 5$
$4$	$3$	$- 1, 5$
$5$	$4$	$- 0, 5$
$6$	$2$	$0, 5$
$7$	$3$	$1, 5$
$9$	$1$	$3, 5$

Desviació mitjana

La desviació mitjana és la mitjana aritmètica dels valors absoluts de les desviacions respecte a la mitjana.

Es simbolitza per $D_{\overset{―}{x}}$ i es calcula aplicant la fórmula $D_{\overset{―}{x}} = \frac{\sum_{i = 1}^{N} | x_{i} - \overset{―}{x} |}{N} = \frac{| x_{1} - \overset{―}{x} | + | x_{2} - \overset{―}{x} | + \dots + | x_{N} - \overset{―}{x} |}{N}$ Informa de com estan de disperses (o no) les dades. Una desviació mitjana elevada implica molta variabilitat en les dades, mentre que una desviació mitjana igual a zero implica que tots els valors són iguals i per tant coincideixen amb la mitjana.

Exemple

Els resultats d'en Jordi a dibuix tècnic al llarg del curs són els següents: $8, 7, 9, 8, 8, 10, 9, 7, 4, 9$ . Calculeu la desviació mitjana.

El primer pas consisteix a trobar la mitjana: $\overset{―}{x} = \frac{8 + 7 + 9 + 8 + 8 + 10 + 9 + 7 + 4 + 9}{10} = \frac{79}{10} = 7.9$ Seguidament s'aplica la definició: $D_{\overset{―}{x}} = \frac{| 8 - 7.9 | + | 7 - 7.9 | + | 9 - 7.9 | + | 8 - 7.9 | + | 8 - 7.9 | +}{10} = \frac{+ | 10 - 7.9 | + | 9 - 7.9 | + | 7 - 7.9 | + | 9 - 7.9 |}{10} = = \frac{0.1 + 0.9 + 1.1 + 0.1 + 0.1 + 2.1 + 1.1 + 0.9 + 3.9 + 1.1}{10} = \frac{11.4}{10} = 1.14$

Exemple

En un partit de bàsquet, es té la següent anotació en els jugadors d'un equip: $0, 2, 4, 5, 8, 10, 10, 15, 38$ . Calculeu la desviació mitjana de les puntuacions dels jugadors de l'equip.

Aplicant la fórmula $\overset{―}{x} = \frac{0 + 2 + 4 + 5 + 8 + 10 + 10 + 15 + 38}{9} = \frac{92}{9} = 10.22$ s'obté la mitjana. Les desviacions es poden representar en una taula:

Puntuació	$D_{i} = x_{i} - \overset{―}{x} - 10, 22$
$0$	$- 10.22$
$2$	$- 8.22$
$4$	$- 6.22$
$5$	$- 5.22$
$8$	$- 2.22$
$10$	$- 0.22$
$10$	$- 0.22$
$15$	$4.78$
$38$	$27.78$

Aplicant la fórmula $D_{\overset{―}{x}} = \frac{10.22 + 8.22 + 6.22 + 5.22 + 2.22 + 0.22 + 0.22 + 4.78 + 27.78}{9} = \frac{65.1}{9} = 7.23$ s'obté la desviació mitjana.

Càlcul de la desviació mitjana per dades agrupades

Si les $N$ dades s'agrupen en $n$ classes s'aplica la fórmula $D_{\overset{―}{x}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \overset{―}{x} | f_{i}}{N} = \frac{| x_{1} - \overset{―}{x} | f_{1} + | x_{2} - \overset{―}{x} | f_{2} + \dots + | x_{n} - \overset{―}{x} | f_{n}}{N}$

Exemple

L'alçada en cm dels jugadors d'un equip de bàsquet està en la següent taula. Calculeu la desviació mitjana.

	$x_{i}$	$f_{i}$
$[160, 170)$	$165$	$1$
$[170, 180)$	$175$	$2$
$[180, 190)$	$185$	$4$
$[190, 200)$	$195$	$3$
$[200, 210)$	$205$	$2$

Primer de tot s'ompla la següent taula

	$x_{i}$	$f_{i}$	$x_{i} f_{i}$	$\| x_{i} - \overset{―}{x} \|$	$\| x_{i} - \overset{―}{x} \| f_{i}$
$[160, 170)$	$165$	$1$	$165$	$22.5$	$22.5$
$[170, 180)$	$175$	$2$	$350$	$12.5$	$25$
$[180, 190)$	$185$	$4$	$740$	$2.5$	$10$
$[190, 200)$	$195$	$3$	$585$	$7.5$	$22.5$
$[200, 210)$	$205$	$2$	$410$	$17.5$	$35$
		$12$	$2250$		$115$

Es calcula la mitjana $\overset{―}{x} = \frac{2250}{12} = 187.5$ per poder omplir les dues últimes columnes.

Es calcula finalment la desviació mitjana: $D_{\overset{―}{x}} = \frac{115}{12} = 9.58$ .