Exercicis de Desviació respecte a la mitjana i desviació mitjana

Desenvolupament:

Les anotacions en els partits són: $58,58,57,69,53,60,59$ i $57$. Es calcula la mitjana $$\bar{x}={\displaystyle \frac{58+58+57+69+53+60+59+57}{8}}\simeq 58,9$$ Seguidament es calculen les desviacions indicant el resultat en una taula:

Anotació	$D_i=x_i-\bar{x}=x_i-58,9$
$53$	$-5,9$
$57$	$-1,9$
$57$	$-1,9$
$58$	$-0,9$
$58$	$-0,9$
$59$	$0,1$
$60$	$1,1$
$69$	$10,1$

Solució:

Anotació	$D_i$
$53$	$-5,9$
$57$	$-1,9$
$57$	$-1,9$
$58$	$-0,9$
$58$	$-0,9$
$59$	$0,1$
$60$	$1,1$
$69$	$10,1$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

S'omple la taula per facilitar el càlcul de la mitjana i de la desviació mitjana:

	$x_i$	$f_i$	$x_i{f}_i$	$|x_i-\bar{x}|$	$|x_i-\bar{x}|\cdot f_i$
$[140,155)$	$147,5$	$3$	$442,5$
$[155,165)$	$160$	$6$	$960$
$[165,175)$	$170$	$17$	$2890$
$[175,190)$	$182,5$	$5$	$912,5$
			$5205$

Per a poder omplir les dues últimes columnes es calcula la mitjana $\bar{x}={\displaystyle \frac{5205}{31}}=167,9$

	$x_i$	$f_i$	$x_i{f}_i$	$|x_i-\bar{x}|$	$|x_i-\bar{x}|\cdot f_i$
$[140,155)$	$147,5$	$3$	$442,5$	$20,4$	$61,2$
$[155,165)$	$160$	$6$	$960$	$7,9$	$47,4$
$[165,175)$	$170$	$17$	$2890$	$2,1$	$35,7$
$[175,190)$	$182,5$	$5$	$912,5$	$14,6$	$73$
			$5205$		$217,3$

Es troba llavors la desviació mitjana $D_{\bar{x}}={\displaystyle \frac{217,3}{31}}=7,01$.

Solució:

$D_{\bar{x}}=7,01$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es necessita la mitjana per poder aplicar la fórmula $D_i=x_i-\bar{x}$.

Per trobar la mitjana només cal sumar tots els termes i dividir pel nombre de llançaments: $$\bar{x}={\displaystyle \frac{1+1+1+3+3+4+4+5+6+6}{10}}={\displaystyle \frac{34}{10}}=3,4$$ Novament es classifiquen les desviacions en una taula, sense importar ara les freqüències:

Resultat de la tirada	$D_i=x_i-\bar{x}=x_i-3,4$
$1$	$-2,4$
$3$	$-0,4$
$4$	$0,6$
$5$	$1,6$
$6$	$2,6$

Solució:

Prenent per mostres $1,1,1,3,3,4,4,5,6,6$ resulta:

Resultat de la tirada	$D_i$
$1$	$-2,4$
$3$	$-0,4$
$4$	$0,6$
$5$	$1,6$
$6$	$2,6$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es calcula primer la mitjana $$\bar{x}={\displaystyle \frac{65+54+54+54+53+50+49+48+46+29+24+24+23+19+17}{15}}=$$ $$={\displaystyle \frac{609}{15}}=40,6$$

Es troba llavors la desviació mitjana: $$D_{\bar{x}}={\displaystyle \frac{|65-40,6|+|54-40,6|+|54-40,6|+|54-40,6|+|53-40,6|+|50-40,6|}{15}}+$$ $$+{\displaystyle \frac{|49-40,6|+|48-40,6|+|46-40,6|+|29-40,6|+|24-40,6|+|24-40,6|}{15}}+$$ $$+{\displaystyle \frac{|23-40,6|+|19-40,6|+|17-40,6|}{15}}=$$ $$={\displaystyle \frac{24,4+13,4+13,4+13,4+12,4+9,4+8,4+7,4+5,4+11,6+16,6+16,6}{15}}$$ $$+{\displaystyle \frac{17,6+21,6+23,6}{15}}={\displaystyle \frac{215,2}{15}}\simeq 14,35$$

Solució:

$D_{\bar{x}}\simeq 14,35$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Afegim una columna a la taula que ajuda al càlcul de la mitjana:

$x_i$	$f_i$	$x_i{f}_i$
$1$	$4$	$4$
$2$	$2$	$4$
$3$	$4$	$12$
$4$	$3$	$12$
$5$	$4$	$20$
$6$	$3$	$18$
		$70$

Trobem llavors la mitjana $\bar{x}={\displaystyle \frac{70}{20}}=3,5$, i calculem les dues columnes que simplifiquen el càlcul de la desviació mitjana:

$x_i$	$f_i$	$x_i{f}_i$	$|x_i-\bar{x}|$	$|x_i-\bar{x}|\cdot f_i$
$1$	$4$	$4$	$2,5$	$10$
$2$	$2$	$4$	$1,5$	$3$
$3$	$4$	$12$	$0,5$	$2$
$4$	$3$	$12$	$0,5$	$1,5$
$5$	$4$	$20$	$1,5$	$6$
$6$	$3$	$18$	$2,5$	$7,5$
		$70$		$30$

La desviació mitjana és llavors: $D_{\bar{x}}={\displaystyle \frac{30}{20}}=1,5$.

Solució:

$D_{\bar{x}}=1,5$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) Aplicant la fórmula $$\bar{x}=x_i-D_i=14-3,2=10,8$$ es troba la mitjana.

b) Seguidament s'aplica l'equació $$D_i=x_i-\bar{x}=3-10,8=-7,8$$ per trobar la desviació de la puntuació de Marc respecte a la mitjana.

Solució:

a) $\bar{x}=10,8$

b) $D_i=-7,8$

Amagar desenvolupament i solució