Desviación respecto a la media y desviación media

Desviación respecto a la media

Como su nombre indica, la desviación respecto a la media da información de lo alejado o cerca que está un dato de los demás datos del conjunto. Intuitivamente, ya se ve que se puede calcular como la diferencia entre un dato y la media de los datos: $D_{i} = x_{i} - \overset{―}{x}$

Se puede observar que para calcular esta desviación, si se dispone de la media, sólo se requiere aquel valor la desviación del cual se quiere calcular.

También cabe comentar que teniendo uno de los datos y su desviación respecto a la media, se puede despejar la media aplicando una simple resta: $\overset{―}{x} = x_{i} - D_{i}$ y posteriormente usarla para calcular las demás desviaciones.

Ejemplo

En el examen de matemáticas Pedro ha sacado un $9$ , la media de la clase es de $6.7$ . Calcular la desviación respecto a la media de la nota de Pedro.

Aplicando la fórmula $D_{i} = x_{i} - \overset{―}{x} = 9 - 6.7 = 2.3$

El signo de la desviación respecto a la media indica si el valor está por encima de la media (signo positivo), o por debajo de la media (signo negativo).

El valor absoluto de la desviación respecto a la media indica lo lejos que está el valor de la media. Un valor igual a cero indica que el valor coincide con la media, mientras que un valor elevado con respecto a las demás desviaciones informa de que el dato está alejado de los demás datos.

Ejemplo

En un partido de baloncesto, se tiene la siguiente anotación en los jugadores de un equipo: $0, 2, 4, 5, 8, 10, 10, 15, 38$ . Calcular la desviación respecto a la media de las puntuaciones de los jugadores del equipo.

Aplicando la fórmula $\overset{―}{x} = \frac{0 + 2 + 4 + 5 + 8 + 10 + 10 + 15 + 38}{9} = \frac{92}{9} = 10.22$ se obtiene la media. Las desviaciones se pueden representar en una tabla:

Puntuación	$D_{i} = x_{i} - \overset{―}{x} = x_{i} - 10.22$
$0$	$- 10.22$
$2$	$- 8.22$
$4$	$- 6.22$
$5$	$- 5.22$
$8$	$- 2.22$
$10$	$- 0.22$
$10$	$- 0.22$
$15$	$4.78$
$38$	$27.78$

Ejemplo

En la siguiente tabla se muestran las notas de Juan en los exámenes de matemáticas durante el año. Calcular las distintas desviaciones respecto a la media.

Nota	$f_{i}$
$3$	$1$
$4$	$3$
$5$	$4$
$6$	$2$
$7$	$3$
$9$	$1$

Primero se calcula la media $\overset{―}{x} = \frac{3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + 9 \cdot 1}{1 + 3 + 4 + 2 + 3 + 1} = \frac{77}{14} = 5.5$ Seguidamente, ya se puede calcular la desviación respecto a la media, incluyéndola en la tabla:

Nota	$f_{i}$	$D_{i} = x_{i} - \overset{―}{x} = x_{i} - 5.5$
$3$	$1$	$- 2, 5$
$4$	$3$	$- 1, 5$
$5$	$4$	$- 0, 5$
$6$	$2$	$0, 5$
$7$	$3$	$1, 5$
$9$	$1$	$3, 5$

Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. Se simboliza por $D_{\overset{―}{x}}$ y se calcula aplicando la fórmula $D_{\overset{―}{x}} = \frac{\sum_{i = 1}^{N} | x_{i} - \overset{―}{x} |}{N} = \frac{| x_{1} - \overset{―}{x} | + | x_{2} - \overset{―}{x} | + \dots + | x_{N} - \overset{―}{x} |}{N}$ Informa de lo muy dispersados (o no) que están los datos. Una desviación media elevada implica mucha variabilidad en los datos, mientras que una desviación media igual a cero implica que todos los valores son iguales y por lo tanto coinciden con la media.

Ejemplo

Los resultados de Jorge en dibujo técnico a lo largo del curso son los siguientes: $8, 7, 9, 8, 8, 10, 9, 7, 4, 9$ . Calcular la desviación media.

El primer paso consiste en hallar la media: $\overset{―}{x} = \frac{8 + 7 + 9 + 8 + 8 + 10 + 9 + 7 + 4 + 9}{10} = \frac{79}{10} = 7.9$ Seguidamente se aplica la definición: $D_{\overset{―}{x}} = \frac{| 8 - 7.9 | + | 7 - 7.9 | + | 9 - 7.9 | + | 8 - 7.9 | + | 8 - 7.9 | +}{10} = \frac{+ | 10 - 7.9 | + | 9 - 7.9 | + | 7 - 7.9 | + | 9 - 7.9 |}{10} = = \frac{0.1 + 0.9 + 1.1 + 0.1 + 0.1 + 2.1 + 1.1 + 0.9 + 3.9 + 1.1}{10} = \frac{11.4}{10} = 1.14$

Ejemplo

En un partido de baloncesto, se tiene la siguiente anotación en los jugadores de un equipo: $0, 2, 4, 5, 8, 10, 10, 15, 38$ . Calcular la desviación media de las puntuaciones de los jugadores del equipo.

Aplicando la fórmula $\overset{―}{x} = \frac{0 + 2 + 4 + 5 + 8 + 10 + 10 + 15 + 38}{9} = \frac{92}{9} = 10.22$ se obtiene la media. Las desviaciones se pueden representar en una tabla:

Puntuación	$D_{i} = x_{i} - \overset{―}{x} - 10, 22$
$0$	$- 10.22$
$2$	$- 8.22$
$4$	$- 6.22$
$5$	$- 5.22$
$8$	$- 2.22$
$10$	$- 0.22$
$10$	$- 0.22$
$15$	$4.78$
$38$	$27.78$

Aplicando la fórmula $D_{\overset{―}{x}} = \frac{10.22 + 8.22 + 6.22 + 5.22 + 2.22 + 0.22 + 0.22 + 4.78 + 27.78}{9} = \frac{65.1}{9} = 7.23$ se obtiene la desviación media.

Cálculo de la desviación media para datos agrupados

Si los $N$ datos se agrupan en $n$ clases se aplica la fórmula $D_{\overset{―}{x}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \overset{―}{x} | f_{i}}{N} = \frac{| x_{1} - \overset{―}{x} | f_{1} + | x_{2} - \overset{―}{x} | f_{2} + \dots + | x_{n} - \overset{―}{x} | f_{n}}{N}$

Ejemplo

La altura en cm de los jugadores de un equipo de baloncesto está en la siguiente tabla. Calcular la desviación media.

	$x_{i}$	$f_{i}$
$[160, 170)$	$165$	$1$
$[170, 180)$	$175$	$2$
$[180, 190)$	$185$	$4$
$[190, 200)$	$195$	$3$
$[200, 210)$	$205$	$2$

Primero de todo rellenar la siguiente tabla

	$x_{i}$	$f_{i}$	$x_{i} f_{i}$	$\| x_{i} - \overset{―}{x} \|$	$\| x_{i} - \overset{―}{x} \| f_{i}$
$[160, 170)$	$165$	$1$	$165$	$22.5$	$22.5$
$[170, 180)$	$175$	$2$	$350$	$12.5$	$25$
$[180, 190)$	$185$	$4$	$740$	$2.5$	$10$
$[190, 200)$	$195$	$3$	$585$	$7.5$	$22.5$
$[200, 210)$	$205$	$2$	$410$	$17.5$	$35$
		$12$	$2250$		$115$

Se calcula la media $\overset{―}{x} = \frac{2250}{12} = 187.5$ para poder rellenar las dos últimas columnas.

Se calcula finalmente la desviación media: $D_{\overset{―}{x}} = \frac{115}{12} = 9.58$ .