Equació punt-pendent de la recta

Consisteix en aïllar $y - p_{1}$ de l'equació contínua de la recta: $\begin{array}{rcl} \frac{x - p_{1}}{v_{1}} & = & \frac{y - p_{2}}{v_{2}} \\ y - p_{2} & = & \frac{v_{2}}{v_{1}} (x - p_{1}) \\ y - p_{2} & = & m \cdot (x - p_{1}) \end{array}$ on $m = \frac{v_{2}}{v_{1}}$ és el pendent de la recta.

Algunes propietats notables del pendent són:

El pendent d'una recta és la tangent de l'angle que forma la recta amb l'eix $O X$ .
El pendent d'una recta és una mesura de la inclinació de la recta: $m = 0 ⟶$ recta horitzontal, $m = 1 ⟶$ recta amb inclinació de $45^{\circ}$ , $m < 0 ⟶$ recta inclinada cap avall.
Dues rectes que tenen el mateix pendent són paral·leles (poden ser la mateixa).
Podem conèixer l'angle entre dues rectes a partir dels seus respectius pendents.
Si $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ és un vector director d'una recta $r$ , el pendent d'aquesta recta $r$ serà $m = \frac{v_{2}}{v_{1}}$
Si coneixem el pendent $m$ d'una recta, un vector director d'aquesta és $\vec{v} = (1, m)$

Una propietat important de l'equació punt-pendent és que ens permet escriure l'equació de la recta a partir únicament del pendent i d'un punt de la recta.

En efecte, si volem una recta de pendent $m$ que passi pel punt $P = (p_{1}, p_{2})$ hem d'escriure: $y - p_{2} = m \cdot (x - p_{1})$

Exemple

Trobeu l'equació punt-pendent de la recta $r$ que passa pels punts $(3, 4)$ i $(- 2, 6)$ .

L'equació vectorial amb $A = (3, 4)$ i $B = (- 2, 6)$ és: $(x, y) = A + k \cdot \vec{A B} = (3, 4) + k \cdot (- 5, 2)$ Per tant les equacions paramètriques de la recta són: $\begin{array}{rcl} x = 3 - 5 \cdot k \\ y = 4 + 2 \cdot k \end{array}}$ Aïllant $k$ obtenim l'equació contínua $\frac{x - 3}{- 5} = \frac{y - 4}{2}$ i finalment, aïllant $y - 4$ i reescrivint tenim: $y - 4 = \frac{2}{- 5} (x - 3) = \frac{- 2}{5} (x - 3)$ que és l'equació punt-pendent de la recta.

El pendent de la recta és $m = - \frac{2}{5}$ .