Ecuación punto-pendiente de la recta

Consiste en aislar $y - p_{1}$ de la ecuación continua de la recta: $\begin{array}{rcl} \frac{x - p_{1}}{v_{1}} & = & \frac{y - p_{2}}{v_{2}} \\ y - p_{2} & = & \frac{v_{2}}{v_{1}} (x - p_{1}) \\ y - p_{2} & = & m \cdot (x - p_{1}) \end{array}$ donde $m = \frac{v_{2}}{v_{1}}$ es la pendiente de la recta.

Algunas propiedades notables de la pendiente son:

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje $O X$ .
La pendiente de una recta es una medida de la inclinación de la recta: $m = 0 ⟶$ recta horizontal, $m = 1 ⟶$ recta con inclinación de $45^{\circ}$ , $m < 0 ⟶$ recta inclinada hacia abajo.
Dos rectas que tienen el mismo pendiente son paralelas (pueden ser la misma).
Podemos conocer el ángulo entre dos rectas a partir de sus respectivos pendientes.
Si $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ es un vector director de una recta $r$ , la pendiente de dicha recta $r$ será $m = \frac{v_{2}}{v_{1}}$
Si conocemos la pendiente m de una recta, un vector director de ésta es $\vec{v} = (1, m)$

Una propiedad importante de la ecuación punto-pendiente es que nos permite escribir la ecuación de la recta a partir únicamente de la pendiente y de un punto de la recta.

En efecto, si queremos una recta de pendiente $m$ que pase por el punto $P = (p_{1}, p_{2})$ deberemos escribir: $y - p_{2} = m \cdot (x - p_{1})$

Ejemplo

Encontrad la ecuación punto-pendiente de la recta $r$ que pasa por los puntos $(3, 4)$ y $(- 2, 6)$ .

La ecuación vectorial con $A = (3, 4)$ y $B = (- 2, 6)$ es: $(x, y) = A + k \cdot \vec{A B} = (3, 4) + k \cdot (- 5, 2)$ Por tanto las ecuaciones paramétricas de la recta son: $\begin{array}{rcl} x = 3 - 5 \cdot k \\ y = 4 + 2 \cdot k \end{array}}$ Aislando $k$ obtenemos la ecuación contínua: $\frac{x - 3}{- 5} = \frac{y - 4}{2}$ y finalmente, aislando $y - 4$ y reescribiendo tenemos: $y - 4 = \frac{2}{- 5} (x - 3) = \frac{- 2}{5} (x - 3)$ que es la ecuación punto-pendiente de la recta.

La pendiente de la recta es $m = - \frac{2}{5}$ .