Equacions contínues de la recta a l'espai

Si a les equacions paramètriques $v_{1}, v_{2}$ i $v_{3}$ són diferents de $0$ , podem aïllar el paràmetre $k$ en totes $3$ : $k = \frac{x - a_{1}}{v_{1}} k = \frac{y - a_{2}}{v_{2}} k = \frac{z - a_{3}}{v_{3}}$ En igualar les expressions obtingudes, tenim: $\frac{x - a_{1}}{v_{1}} = \frac{y - a_{2}}{v_{2}} = \frac{z - a_{3}}{v_{3}}$ que són les equacions contínues de la recta.

Exemple

Les equacions paramètriques de la recta que passa pel punt $A = (- 1, 1, 3)$ i que té $\vec{v} = (3, - 2, 1)$ per vector director són: $\begin{array}{rcl} x & = & - 1 + 3 k \\ y & = & 1 - 2 k \\ z & = & 3 + k \end{array}}$

Aïllant $k$ i igualando tenim: $\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = z - 3$ que són les equacions contínues de la recta.