Equació vectorial de la recta a l'espai

Per a determinar una recta a l'espai necessitem un punt i una direcció. Qualsevol vector que tingui la mateixa direcció que una recta donada és un vector director d'aquesta recta.

És destacable que, com en el pla, donats dos punts podem obtenir un punt i un vector i viceversa.

Considerem en el sistema de referència ${O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}}$ la recta $r$ que passa pel punt $A$ i té vector director $\vec{v}$ . La simbolitzem per $r (A; \vec{v})$ .

Hi ha diferents maneres d'expressar-la. Anem a veure ara la forma vectorial.

Donat un punt $P$ de la recta, evidentment aquest pot ser expressat com: $P = A + k \cdot \vec{v}$ Aquesta expressió es coneix com equació vectorial de la recta. En components l'expressió equival a: $(x, y, x) = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) + k \cdot (v_{1}, v_{2}, v_{3})$

Exemple

Donats el punt $A = (- 1, 1, 3)$ i el vector $\vec{v} = (3, - 2, 1)$ , trobeu l'equació vectorial de la recta que passa pel punt $A$ i té la direcció del vector $\vec{v}$ .

De la fórmula $P = A + k \cdot \vec{v}$ obtenim substituint: $(x, y, z) = (- 1, 1, 3) + k \cdot (3, - 2, 1)$