Ecuación vectorial de la recta en el espacio

Para determinar una recta en el espacio necesitamos un punto y una dirección. Cualquier vector que tenga la misma dirección que una recta dada es un vector director de dicha recta.

Es destacable que, como en el plano, dados dos puntos podemos obtener un punto y un vector y viceversa.

Consideremos en el sistema de referencia ${O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}}$ la recta $r$ que pasa por el punto $A$ y tiene vector director $\vec{v}$ . La simbolizaremos por $r (A; \vec{v})$ .

Hay distintas maneras de expresarla. Vamos a ver ahora la forma vectorial.

Dado un punto $P$ de la recta, evidentemente este puede ser expresado como: $P = A + k \cdot \vec{v}$ Esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta.

En componentes la expresión equivale a: $(x, y, x) = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) + k \cdot (v_{1}, v_{2}, v_{3})$

Ejemplo

Dados el punto $A = (- 1, 1, 3)$ y el vector $\vec{v} = (3, - 2, 1)$ , encontrad la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto $A$ y tiene la dirección del vector $\vec{v}$ .

De la fórmula $P = A + k \cdot \vec{v}$ obtenemos sustituyendo: $(x, y, z) = (- 1, 1, 3) + k \cdot (3, - 2, 1)$