Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio

Desarrollamos la ecuación vectorial de la recta $r$ expresada en componentes: $\begin{array}{rcl} (x, y, z) & = & (a_{1}, a_{2}, a_{3}) + k \cdot (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \\ (x, y, z) & = & (a_{1}, a_{2}, a_{3}) + (k \cdot v_{1}, k \cdot v_{2}, k \cdot v_{3}) \\ (x, y, z) & = & (a_{1} + k \cdot v_{1}, a_{2} + k \cdot v_{2}, a_{3} + k \cdot v_{3}) \end{array}$ y separando por componentes obtenemos: $\begin{array}{rcl} x & = & a_{1} + k \cdot v_{1} \\ y & = & a_{2} + k \cdot v_{2} \\ z & = & a_{3} + k \cdot v_{3} \end{array}}$ Que son las conocidas como ecuaciones paramétricas de la recta.

Ejemplo

Encontrad las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $A = (- 1, 1, 3)$ y que tiene $\vec{v} = (3, - 2, 1)$ por vector director.

La ecuación vectorial es $(x, y, z) = (- 1, 1, 3) + k \cdot (3, - 2, 1)$ Separando componentes obtenemos: $\begin{array}{rcl} x & = & - 1 + 3 k \\ y & = & 1 - 2 k \\ z & = & 3 + k \end{array}}$ que son las ecuaciones paramétricas.