Ecuaciones implícitas de la recta en el espacio

A partir de las ecuaciones continuas de la recta $r$ obtenemos: $\begin{array}{rcl} \frac{x - a_{1}}{v_{1}} = \frac{y - a_{2}}{v_{2}} & ⟹ & v_{2} (x - a_{1}) = v_{1} (y - a_{2}) \\ \frac{x - a_{1}}{v_{1}} = \frac{z - a_{3}}{v_{3}} & ⟹ & v_{3} (x - a_{1}) = v_{1} (z - a_{3}) \end{array}} ⟹ \begin{array}{rcl} v_{2} \cdot x - v_{1} \cdot y + (a_{2} v_{2} - a_{1} v_{2}) & = & 0 \\ v_{3} \cdot x - v_{1} \cdot z + (a_{3} v_{1} - a_{1} v_{3}) & = & 0 \end{array}}$

Aunque generalmente estas ecuaciones suelen escribirse como $\begin{array}{rcl} A x + B y + C z + D & = & 0 \\ A^{'} x + B^{'} y + C^{'} z + D^{'} & = & 0 \end{array}}$ y se conocen como ecuaciones implícitas de la recta.

Ejemplo

La recta que pasa por el punto $A = (- 1, 1, 3)$ y que tiene $\vec{v} = (3, - 2, 1)$ por vector director, tiene las ecuaciones continuas: $\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = z - 3$ Si separamos y operamos tenemos: $\begin{array}{rcl} \frac{x + 1}{3} & = & \frac{y - 1}{- 2} \\ \frac{x + 1}{3} & = & z - 3 \end{array}} \Rightarrow \begin{array}{rcl} - 2 (x + 1) & = & 3 (y - 1) \\ x + 1 & = & 3 (z - 3) \end{array}} \Rightarrow \begin{array}{rcl} - 2 x - 2 & = & 3 y - 3 \\ x + 1 & = & 3 z - 9 \end{array}} \Rightarrow \begin{array}{rcl} - 2 x - 2 - 3 y + 3 & = & 0 \\ x + 1 - 3 z + 9 & = & 0 \end{array}} \Rightarrow \begin{array}{rcl} - 2 x - 3 y + 1 & = & 0 \\ x - 3 z + 10 & = & 0 \end{array}}$

que son las ecuaciones implícitas de la recta.

Ejemplo

Encuentra las ecuaciones paramétricas y determina un vector director de la recta $r$ cuyas ecuaciones implícitas son: $r : {\begin{array}{rcl} x + 2 y - z - 3 & = & 0 \\ 2 x + 5 y + 2 z - 4 & = & 0 \end{array}$ Para transformar las ecuaciones implícitas en paramétricas resolveremos el sistema por el método de Cramer.

Los pasos a seguir son los siguientes:

Escogemos un menor de orden dos cuyo determinante sea distinto de cero: $| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} | = 5 - 4 = 1 \neq 0$
Sustituimos la incógnita que no interviene en este menor (en este caso $z$ ), por un parámetro $k$ . Tenemos por tanto, $z = k$ , y aislamos las variables: $\begin{array}{rcl} x + 2 y - z - 3 & = & 0 \\ 2 x + 5 y + 2 z - 4 & = & 0 \end{array}} \begin{array}{rcl} x + 2 y - k - 3 & = & 0 \\ 2 x + 5 y + 2 k - 4 & = & 0 \end{array}} \begin{array}{rcl} x + 2 y & = & k + 3 \\ 2 x + 5 y & = & - 2 k + 4 \end{array}}$
Por último aplicamos la regla de Cramer: $x = \frac{| \begin{matrix} k + 3 & 2 \\ - 2 k + 4 & 5 \end{matrix} |}{1} = 5 k + 15 + 4 k - 8 = 7 + 9 k$

$x = \frac{| \begin{matrix} 1 & k + 3 \\ 2 & - 2 k + 4 \end{matrix} |}{1} = - 2 k + 4 - 2 k - 6 = - 2 - 4 k$

Por tanto las ecuaciones paramétricas son: ${\begin{array}{rcl} x & = & 7 + 9 k \\ y & = & - 2 - 4 k \\ z & = & k \end{array}$ y un punto y un vector de la recta son $A = (7, - 2, 0) \vec{v} = (9, - 4, 1)$