Ecuaciones continuas de la recta en el espacio

Si en las ecuaciones paramétricas $v_{1}, v_{2}$ y $v_{3}$ son distintos de $0$ , podemos aislar el parámetro $k$ en todas $3$ : $k = \frac{x - a_{1}}{v_{1}} k = \frac{y - a_{2}}{v_{2}} k = \frac{z - a_{3}}{v_{3}}$ En igualar las expresiones obtenidas, tenemos: $\frac{x - a_{1}}{v_{1}} = \frac{y - a_{2}}{v_{2}} = \frac{z - a_{3}}{v_{3}}$ que son las ecuaciones continuas de la recta.

Ejemplo

Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $A = (- 1, 1, 3)$ con $\vec{v} = (3, - 2, 1)$ por vector director son: $\begin{array}{rcl} x & = & - 1 + 3 k \\ y & = & 1 - 2 k \\ z & = & 3 + k \end{array}}$

Aislando $k$ e igualando tenemos: $\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = z - 3$ que son las ecuaciones continuas de la recta.