Si en las ecuaciones paramétricas $$v_1,v_2$$ y $$v_3$$ son distintos de $$0$$, podemos aislar el parámetro $$k$$ en todas $$3$$: $$$\displaystyle k=\frac{x-a_1}{v_1} \qquad k=\frac{y-a_2}{v_2} \qquad k=\frac{z-a_3}{v_3}$$$ En igualar las expresiones obtenidas, tenemos: $$$\displaystyle \frac{x-a_1}{v_1} =\frac{y-a_2}{v_2} =\frac{z-a_3}{v_3}$$$ que son las ecuaciones continuas de la recta.
Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $$A = (-1, 1, 3)$$ con $$\overrightarrow{v}=(3,-2,1)$$ por vector director son: $$$\left.\begin{array}{rcl} x &=& -1+3k \\ y&=& 1-2k \\ z&=&3+k\end{array}\right\}$$$
Aislando $$k$$ e igualando tenemos: $$$\displaystyle \frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=z-3$$$ que son las ecuaciones continuas de la recta.