Equacions reduïdes i canòniques de les còniques

Aprendrem com trobar una referència cartesiana rectangular respecte la qual, l'equació d'una cònica analítica sigui el més senzilla possible.

Resoldrem aquest problema mitjançant successives reduccions, és a dir, canvis de coordenades escollits de manera que, després de cada un, l'equació de la cònica sigui el resultat de simplificar algun aspecte de l'equació precedent.

En tot cas, l'objectiu és veure que hi ha un canvi rectangular de coordenades: $$\{\begin{array}{l}x=a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }+e\\ y=c{x}^{\prime }+d{y}^{\prime }+f\end{array}$$ que transformi el polinomi $q(x,y)$ a un polinomi de la forma $$q(a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }+e,c{x}^{\prime }+d{y}^{\prime }+f)$$ que tingui una de les següents formes:

1. ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+\mu$
2. ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+2e{y}^{\prime }$
3. ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+\mu$

on${\lambda }_1,{\lambda }_2$ i $e$ són nombres reals diferents del zero i $\mu$ un nombre real arbitrari. Les expressions anteriors les anomenem formes reduïdes.

Per diverses raons (que veurem més endavant), direm que són del tipus centrat, parabòlic i de rectes paral·leles.

La primera reducció

El primer pas serà calcular la seva matriu associada $A^{\prime }$, donada una cònica d'equació $q(x,y)=0$. Per tant, calcularem els valors propis d'aquesta matriu, calculant el polinomi característic i després el determinant el determinant $det(A^{\prime }-\lambda I)$.

Una vegada trobats els valors propis, hi ha un canvi de coordenades que ens transforma l'equació general d'una cònica a una equació de la forma següent: $${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+2dx+2ey+f=0$$ Observeu, que si en l'equació general de la cònica no existeix el terme $xy$ no serà necessària aquesta reducció ja que la matriu $A^{\prime }$ ja serà diagonal, i el que busca aquesta reducció és diagonalitzar la matriu principal de la cònica.

A continuació, anem a donar un exemple d'aquesta reducció.

La segona reducció

Un cop realitzada la primera reducció, obtenim que la nova equació de la cònica és de la forma $${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+2dx+2ey+f=0$$ En relació a aquesta equació, hi ha dues situacions que hem de considerar: ${\lambda }_1{\lambda }_2=0$ i${\lambda }_1{\lambda }_2\ne 0$.

En el primer cas, hi ha un valor propi nul i un altre que no (recordem que hem suposat que la matriu $A$ no és la matriu idènticament $0$). Intercanviant els eixos si cal, podem suposar sense pèrdua de generalitat que ${\lambda }_1\ne 0$ i ${\lambda }_2=0$.

A més, podem suposar que el valor propi és positiu. En aquest punt, podem diferenciar dos nous casos, si $e$ és zero o és diferent de zero.

En el primer cas, l'eina bàsica per seguir és la completació de quadrats, $${\displaystyle \lambda x^2+2dx=\lambda x^{\prime 2}+k\text{ essent }x=x^{\prime }-\frac{d}{\lambda }\text{ i }k=-\frac{d^2}{\lambda }}$$

En el segon cas, fem també una completació de quadrats per a la $x$ per obtenir una equació de la forma $$\lambda x^2+2ey+f=0$$ És a dir, obtenim una equació sense terme lineal $x$.

Si estem en el segon cas, és a dir ${\lambda }_1{\lambda }_2\ne 0$, aleshores després de fer dos completacions de quadrat i el corresponent canvi de coordenades, ens permeten suposar que $d=e=0$, de manera que obtenim una equació reduïda del tipus centrat: $${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+\mu =0$$ En resum, depenent de si algun dels dos valors propis són nuls, hi ha diferents canvis de coordenades per obtenir una de les següents formes reduïdes:

1. ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+\mu$
2. ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+2e{y}^{\prime }$
3. ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+\mu$

Equacions canòniques

A continuació, anem a fer l'últim pas per poder classificar una cònica afí.

Sigui ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+\mu =0$ una equació reduïda del tipus centrat, i anem a discutir els diferents casos possibles.

Si $\mu \ne 0$, escrivim $${\displaystyle a=\sqrt{\frac{|\mu |}{{\lambda }_1}}\text{ i }b=\sqrt{\frac{|\mu |}{|{\lambda }_2|}}}$$ llavors obtenim l'equivalència a una de les següents tres formes: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1,\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ La primera i la tercera són les equacions canòniques d'una el·lipse i d'una hipèrbola, respectivament, amb semieixos $a$ i $b$.

De la segona, que no té punts reals, l'anomenarem el·lipse imaginària.

D'altra banda, si $\mu =0$ llavors escrivint $${\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{{\lambda }_1}}\text{ i }b=\sqrt{\frac{1}{|{\lambda }_2|}}}$$ obtenim que l'equació adopta una de les següents formes: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0,\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$$ La segona ens dóna dues rectes reals i la primera dues rectes imaginàries conjugades.

Si considerem l'equació reduïda del tipus parabòlic, ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+2e{y}^{\prime }=0$, podem suposar que tenim l'equació $x^2=2py$, amb ${\displaystyle p=\frac{e}{{\lambda }_1}}$.

A més, podem suposar que $p>0$ (si no fos així, canviaríem el sentit de l'eix $OY$).

Per tant, tenim que l'equació es tracta d'una paràbola amb paràmetre focal $p$ i amb l'eix coincidint amb l'eix $OY$.

Finalment, si considerem l'equació reduïda del tipus ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+\mu =0$, és equivalent, escrivint $${\displaystyle k=\sqrt{\frac{|\mu |}{{\lambda }_1}}}$$ quan $\mu \ne 0$- a una de les tres equacions següents: $$x^2=k^2,x^2=0,x^2=-k^2(k>0)$$

La primera ens dóna dues rectes paral·leles ($x=k$ i $x=-k$, essent $k$ la semidistància entre les dues rectes) i la segona dues rectes coincidents. De la tercera, direm que ens dóna dues rectes paral·leles conjugades.

En resum, aquest procediment ens dóna un algorisme eficaç per passar d'una equació general d'una cònica a una equació canònica. Per aconseguir-ho, fem servir els següents passos:

• Donada l'equació de la cònica, calculem la seva matriu principal $A^{\prime }$ i calculem els seus valors propis per diagonalitzar la matriu $A^{\prime }$. Aquest pas s'anomena primera reducció. En finalitzar aquest pas, obtenim que l'equació de la cònica sigui de la forma: ${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+2dx+2ey+f=0$.

• Un cop feta la primera reducció, es mira si algun dels valors propis és zero. A continuació, mitjançant les finalització de quadrats, podem transformar l'equació donada per la primera reducció a una de les de la següent manera:

  • ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+\mu$
  • ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+2e{y}^{\prime }$
  • ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+\mu$ Aquest pas s'anomena segona reducció.
• Finalment, depenent de la forma reduïda que tinguem, mitjançant uns nous canvis de coordenades s'obtenen les diferents equacions canòniques. Un cop obtinguda l'equació canònica, ja hem classificat la cònica.

Ara proposem uns exemples que ens permetin veure tots els passos.