Definicions, matriu i matriu principal de les còniques

Definicions bàsiques

Donat un polinomi quadràtic real $$q(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2+2dx+2ey+f$$ amb les coordenades rectangulars $(x,y)$, direm que l'equació $q(x,y)=0$ defineix una cònica analítica, que denotarem per $C_q$.

Tingueu en compte que amb la paraula cònica volem dir que la part principal de $q(x,y)$, $q_2(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$ , no és idènticament zero en tots els seus punts.

Un punt $(m,n)$ pertany a la cònica analítica $C_q$ si i només si $q(m,n)=0$. El punt es diu real si les dues coordenades són reals, i complex si alguna de les seves dues coordenades són complexes. Com l'equació és una equació amb coeficients reals, si un punt $(m,n)$ complex pertany a la cònica, llavors el seu conjugat també és de la cònica.

Si $(x^{\prime },y^{\prime })$ és un altre sistema de coordenades rectangular i $$q^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })=a^{\prime }{x}^{\prime 2}+2b^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }+c^{\prime }{y}^{\prime 2}+2d^{\prime }{x}^{\prime }+2e^{\prime }{y}^{\prime }+f^{\prime }$$ és un polinomi quadràtic en $(x^{\prime },y^{\prime })$, diem que les equacions $q(x,y)=0$ i $q^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })=0$ defineixen la mateixa cònica analítica si i només si existeix un nombre real $K$ diferent de zero tal que: $q^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })=K\cdot q(x,y)$ on es considera $q(x,y)$ un polinomi en el sistema de coordenades $(x^{\prime },y^{\prime })$ que s'obté substituint $(x,y)$ pels valors donats per les fórmules del canvi de coordenades.

En particular, tenim que dos polinomis $q(x,y)$ i $q^{\prime }(x,y)$ en les mateixes coordenades rectangulars defineixen la mateixa cònica si i només si existeix un nombre real $K$, no nul tal que $q(x^{\prime },y^{\prime })=K\cdot q(x,y)$.

Matriu i matriu principal d'una cònica

Donada una matriu real simètrica $${\displaystyle \bar{A}=\left[\begin{array}{ccc}a& b& d\\ b& c& e\\ d& e& f\end{array}\right]}$$ li podem assignar el polinomi $$q^{\bar{A}}(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2+2dx+2ey+f$$

La matriu principal $\overline{A}$ és la matriu no nul·la $${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]}$$ no nul·la, i el polinomi $q^{\overline{A}}(x,y)$ defineix una cònica analítica $C_{q^{\overline{A}}}$: diem que la cònica analítica és la determinada per la matriu $\overline{A}$ referida a les coordenades $(x,y)$.

Noteu que si $K$ és un nombre real no nul, $K\bar{A}$ i $KA$ determinen, referides a un mateix sistema de coordenades, la mateixa cònica analítica.

A més, la part principal del polinomi $q^{\bar{A}}(x,y)$ és el polinomi $q^A(x,y)=a{x}^2+2bx+c{y}^2$ corresponent a la matriu principal $A$.

Recíprocament, donada una cònica analítica de la forma: $$q(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2+2dx+2ey+f$$ li podem assignar una matriu simètrica real, on $a,b,c,d,e,f$ són els coeficients del polinomi $q(x,y)$.

Com la matriu $\bar{A}$ està definida excepte un factor escalar no nul, escriurem $[\bar{A}]$ per denotar-la i direm que és la matriu de la cònica relativa a les coordenades $(x,y)$.

La part principal de la matriu relativa a la cònica és $A$, on $A$ ve donada pels coeficients de la part principal de $q(x,y)$. Podem escriure: $$\bar{A}=\left[\begin{array}{cc}A& {\omega }^T\\ \omega & c\end{array}\right],\omega =(g,h)$$

Llavors són vàlids els següents resultats:

• Donada una matriu simètrica real , la cònica que determina és la donada per l'equació $(x,y,1)\cdot \bar{A}\cdot (x,y,1{)}^T=0$ ( referida a les coordenades $(x,y)$ ).

• Siguin $\bar{A}$ i ${\bar{A}}^{\prime }$' dues matrius reals simètriques de dimensió $3$. Llavors, la cònica analítica definida per $\bar{A}$ - referida a les coordenades rectangulars $(x,y)$ - coincideix amb la definida por ${\bar{A}}^{\prime }\bar{A}$- referida a les coordenades $(x^{\prime },y^{\prime })$ -, si i només si existeix una matriu $\bar{M}=\left[\begin{array}{cc}M& p\\ 0& 1\end{array}\right]$, $M\in O(2)$, $p=(r,s{)}^T$ i $r,s$ reals i un nombre $K$ diferent de zero, tals que: ${\bar{A}}^{\prime }=K\cdot {\bar{M}}^T\bar{A}\bar{M}$.

  A més, en aquest cas també tenim una igualtat amb les matrius principals $A$ i $A^{\prime }$,$A^{\prime }=K\cdot M^{T}AM$