Definicions, matriu i matriu principal de les còniques

Definicions bàsiques

Donat un polinomi quadràtic real $$$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$$ amb les coordenades rectangulars $$(x, y)$$, direm que l'equació $$q (x, y) = 0$$ defineix una cònica analítica, que denotarem per $$C_q$$.

Tingueu en compte que amb la paraula cònica volem dir que la part principal de $$q (x, y)$$, $$q_2(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2$$ , no és idènticament zero en tots els seus punts.

Un punt $$(m, n)$$ pertany a la cònica analítica $$C_q$$ si i només si $$q (m, n) = 0$$. El punt es diu real si les dues coordenades són reals, i complex si alguna de les seves dues coordenades són complexes. Com l'equació és una equació amb coeficients reals, si un punt $$(m, n)$$ complex pertany a la cònica, llavors el seu conjugat també és de la cònica.

Si $$(x', y')$$ és un altre sistema de coordenades rectangular i $$$q'(x',y')=a'x'^2+2b'x'y'+c'y'^2+2d'x'+2e'y'+f'$$$ és un polinomi quadràtic en $$(x', y')$$, diem que les equacions $$q (x, y) = 0$$ i $$q' (x', y') = 0$$ defineixen la mateixa cònica analítica si i només si existeix un nombre real $$K$$ diferent de zero tal que: $$q'(x',y')=K\cdot q(x,y)$$ on es considera $$q (x, y)$$ un polinomi en el sistema de coordenades $$(x', y')$$ que s'obté substituint $$(x, y)$$ pels valors donats per les fórmules del canvi de coordenades.

En particular, tenim que dos polinomis $$q (x, y)$$ i $$q' (x, y)$$ en les mateixes coordenades rectangulars defineixen la mateixa cònica si i només si existeix un nombre real $$K$$, no nul tal que $$q(x',y')=K \cdot q(x,y)$$.

Matriu i matriu principal d'una cònica

Donada una matriu real simètrica $$$\displaystyle \overline{A}=\begin{bmatrix} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end{bmatrix}$$$ li podem assignar el polinomi $$$q^{\overline{A}}(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$$

La matriu principal $$\bar{A}$$ és la matriu no nul·la $$$\displaystyle \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$$$ no nul·la, i el polinomi $$q^{\bar{A}}(x,y)$$ defineix una cònica analítica $$C_{q^{\bar{A}}}$$: diem que la cònica analítica és la determinada per la matriu $$\bar{A}$$ referida a les coordenades $$(x,y)$$.

Noteu que si $$K$$ és un nombre real no nul, $$K\overline{A}$$ i $$KA$$ determinen, referides a un mateix sistema de coordenades, la mateixa cònica analítica.

A més, la part principal del polinomi $$q^{\overline{A}}(x,y)$$ és el polinomi $$q^A(x,y)=ax^2+2bx+cy^2$$ corresponent a la matriu principal $$A$$.

Recíprocament, donada una cònica analítica de la forma: $$$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$$ li podem assignar una matriu simètrica real, on $$a, b, c, d, e, f$$ són els coeficients del polinomi $$q (x, y)$$.

Com la matriu $$\overline{A}$$ està definida excepte un factor escalar no nul, escriurem $$[\overline{A}]$$ per denotar-la i direm que és la matriu de la cònica relativa a les coordenades $$(x, y)$$.

La part principal de la matriu relativa a la cònica és $$A$$, on $$A$$ ve donada pels coeficients de la part principal de $$q (x, y)$$. Podem escriure: $$$\overline{A}= \begin{bmatrix} A & \omega^T \\ \omega & c \end{bmatrix}, \omega=(g,h)$$$

Llavors són vàlids els següents resultats:

• Donada una matriu simètrica real , la cònica que determina és la donada per l'equació $$ (x,y,1) \cdot \overline{A} \cdot (x,y,1)^T=0 $$ ( referida a les coordenades $$(x, y)$$ ).

• Siguin $$\overline{A}$$ i $$\overline{A}'$$' dues matrius reals simètriques de dimensió $$3$$. Llavors, la cònica analítica definida per $$\overline{A}$$ - referida a les coordenades rectangulars $$(x, y)$$ - coincideix amb la definida por $$\overline{A}'\overline{A}$$- referida a les coordenades $$(x', y')$$ -, si i només si existeix una matriu $$\overline{M}=\begin{bmatrix} M & p \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$, $$M \in O(2)$$, $$p=(r,s)^T$$ i $$r,s$$ reals i un nombre $$K$$ diferent de zero, tals que: $$\overline{A}'=K\cdot \overline{M}^T \overline{A}\overline{M}$$.

  A més, en aquest cas també tenim una igualtat amb les matrius principals $$A$$ i $$A'$$,$$A' =K \cdot M^TAM$$