Definiciones, matriz y matriz principal de las cónicas

Definiciones básicas

Dado un polinomio cuadrático real $$q(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2+2dx+2ey+f$$ con las coordenadas rectangulares $(x,y)$, diremos que la ecuación $q(x,y)=0$ define una cónica analítica, que denotaremos por $C_q$.

Nótese que con la palabra cónica queremos decir que la parte principal de $q(x,y)$, $q_2(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$ , no es idénticamente cero en todos sus puntos.

Un punto $(m,n)$ pertenece a la cónica analítica $C_q$ si y solo si $q(m,n)=0$. El punto se llama real si las dos coordenadas son reales, y complejo si alguna de sus dos coordenadas son complejas. Como la ecuación es una ecuación con coeficientes reales, si un punto $(m,n)$ complejo pertenece a la cónica, entonces su conjugado también es de la cónica.

Si $(x^{\prime },y^{\prime })$ es otro sistema de coordenadas rectangular y $$q^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })=a^{\prime }{x}^{\prime 2}+2b^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }+c^{\prime }{y}^{\prime 2}+2d^{\prime }{x}^{\prime }+2e^{\prime }{y}^{\prime }+f^{\prime }$$ es un polinomio cuadrático en $(x^{\prime },y^{\prime })$, decimos que las ecuaciones $q(x,y)=0$ y $q^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })=0$ definen la misma cónica analítica si y sólo si existe un número real $K$ diferente de cero tal que: $q^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })=K\cdot q(x,y)$ donde se considera $q(x,y)$ un polinomii en el sistema de coordenadas $(x^{\prime },y^{\prime })$ que se obtiene substituyendo $(x,y)$ por los valores dados por las fórmulas del canvio de coordenadas.

En particular, tenemos que dos polinomios $q(x,y)$ y $q^{\prime }(x,y)$ en las mismas coordenadas rectangulares definen la misma cónica si y sólo si existe un número real $K$, no nulo tal que $q(x^{\prime },y^{\prime })=K\cdot q(x,y)$.

Matriz y matriz principal de una cónica

Dada una matriz real simétrica $${\displaystyle \bar{A}=\left[\begin{array}{ccc}a& b& d\\ b& c& e\\ d& e& f\end{array}\right]}$$ le podemos asignar el polinomio $$q^{\bar{A}}(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2+2dx+2ey+f$$

La matriz principal de $\overline{A}$ es la matriz no nula $${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]}$$ y al polinomio $q^{\overline{A}}(x,y)$ define una cónica analítica $C_{q^{\overline{A}}}$: decimos que la cónica analítica es la determinada por la matriz $\overline{A}$ referida a las coordenadas $(x,y)$.

Nótese que si $K$ es un número real no nulo, $K\bar{A}$ y $KA$ determinan, referidas a un mismo sistema de coordenadas, la misma cónica analítica.

Además, la parte principal del polinomio $q^{\bar{A}}(x,y)$ es el polinomio $q^A(x,y)=a{x}^2+2bx+c{y}^2$ correspondiente a la matriz principal $A$.

Recíprocamente, dada una cónica analítica de la forma: $$q(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2+2dx+2ey+f$$ le podemos asignar una matriz simétrica real, donde $a,b,c,d,e,f$ son los coeficientes del polinomio $q(x,y)$.

Como la matriz $\bar{A}$ está definida salvo un factor escalar no nulo, escribiremos $[\bar{A}]$ para denotarla y diremos que es la matriz de la cónica relativa a las coordenadas $(x,y)$.

La parte principal de la matriz relativa a la cónica es $A$, donde $A$ viene dada por los coeficientes de la parte principal de $q(x,y)$. Podemos escribir: $$\bar{A}=\left[\begin{array}{cc}A& {\omega }^T\\ \omega & c\end{array}\right],\omega =(g,h)$$

entonces son válidos los siguientes resultados:

• Dada una matriz simétrica real , la cónica que determina es la dada por la ecuación $(x,y,1)\cdot \bar{A}\cdot (x,y,1{)}^T=0$ ( referida a las coordenadas $(x,y)$ ).

• Sean $\bar{A}$ y ${\bar{A}}^{\prime }$' dos matrices reales simétricas de dimensión $3$. Entonces, la cónica analítica definida por $\bar{A}$ - referida a las coordenadas rectangulares $(x,y)$ - coincide con la definida por ${\bar{A}}^{\prime }\bar{A}$- referida a las coordenadas $(x^{\prime },y^{\prime })$ -, si y sólo si existe una matriz $\bar{M}=\left[\begin{array}{cc}M& p\\ 0& 1\end{array}\right]$, $M\in O(2)$, $p=(r,s{)}^T$ y $r,s$ reales y un numero $K$ distinto de cero, tales que: ${\bar{A}}^{\prime }=K\cdot {\bar{M}}^T\bar{A}\bar{M}$.

  Además, en este caso también tenemos una igualdad con las matrices principales $A$ y $A^{\prime }$,$A^{\prime }=K\cdot M^{T}AM$