Definiciones, matriz y matriz principal de las cónicas

Definiciones básicas

Dado un polinomio cuadrático real $$$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$$ con las coordenadas rectangulares $$(x, y)$$, diremos que la ecuación $$q (x, y) = 0$$ define una cónica analítica, que denotaremos por $$C_q$$.

Nótese que con la palabra cónica queremos decir que la parte principal de $$q (x, y)$$, $$q_2(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2$$ , no es idénticamente cero en todos sus puntos.

Un punto $$(m, n)$$ pertenece a la cónica analítica $$C_q$$ si y solo si $$q (m, n) = 0$$. El punto se llama real si las dos coordenadas son reales, y complejo si alguna de sus dos coordenadas son complejas. Como la ecuación es una ecuación con coeficientes reales, si un punto $$(m, n)$$ complejo pertenece a la cónica, entonces su conjugado también es de la cónica.

Si $$(x', y')$$ es otro sistema de coordenadas rectangular y $$$q'(x',y')=a'x'^2+2b'x'y'+c'y'^2+2d'x'+2e'y'+f'$$$ es un polinomio cuadrático en $$(x', y')$$, decimos que las ecuaciones $$q (x, y) = 0$$ y $$q' (x', y') = 0$$ definen la misma cónica analítica si y sólo si existe un número real $$K$$ diferente de cero tal que: $$q'(x',y')=K\cdot q(x,y)$$ donde se considera $$q (x, y)$$ un polinomii en el sistema de coordenadas $$(x', y')$$ que se obtiene substituyendo $$(x,y)$$ por los valores dados por las fórmulas del canvio de coordenadas.

En particular, tenemos que dos polinomios $$q (x, y)$$ y $$q' (x, y)$$ en las mismas coordenadas rectangulares definen la misma cónica si y sólo si existe un número real $$K$$, no nulo tal que $$q(x',y')=K \cdot q(x,y)$$.

Matriz y matriz principal de una cónica

Dada una matriz real simétrica $$$\displaystyle \overline{A}=\begin{bmatrix} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end{bmatrix}$$$ le podemos asignar el polinomio $$$q^{\overline{A}}(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$$

La matriz principal de $$\bar{A}$$ es la matriz no nula $$$\displaystyle \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$$$ y al polinomio $$q^{\bar{A}}(x,y)$$ define una cónica analítica $$C_{q^{\bar{A}}}$$: decimos que la cónica analítica es la determinada por la matriz $$\bar{A}$$ referida a las coordenadas $$(x,y)$$.

Nótese que si $$K$$ es un número real no nulo, $$K\overline{A}$$ y $$KA$$ determinan, referidas a un mismo sistema de coordenadas, la misma cónica analítica.

Además, la parte principal del polinomio $$q^{\overline{A}}(x,y)$$ es el polinomio $$q^A(x,y)=ax^2+2bx+cy^2$$ correspondiente a la matriz principal $$A$$.

Recíprocamente, dada una cónica analítica de la forma: $$$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$$ le podemos asignar una matriz simétrica real, donde $$a, b, c, d, e, f$$ son los coeficientes del polinomio $$q (x, y)$$.

Como la matriz $$\overline{A}$$ está definida salvo un factor escalar no nulo, escribiremos $$[\overline{A}]$$ para denotarla y diremos que es la matriz de la cónica relativa a las coordenadas $$(x, y)$$.

La parte principal de la matriz relativa a la cónica es $$A$$, donde $$A$$ viene dada por los coeficientes de la parte principal de $$q (x, y)$$. Podemos escribir: $$$\overline{A}= \begin{bmatrix} A & \omega^T \\ \omega & c \end{bmatrix}, \omega=(g,h)$$$

entonces son válidos los siguientes resultados:

• Dada una matriz simétrica real , la cónica que determina es la dada por la ecuación $$ (x,y,1) \cdot \overline{A} \cdot (x,y,1)^T=0 $$ ( referida a las coordenadas $$(x, y)$$ ).

• Sean $$\overline{A}$$ y $$\overline{A}'$$' dos matrices reales simétricas de dimensión $$3$$. Entonces, la cónica analítica definida por $$\overline{A}$$ - referida a las coordenadas rectangulares $$(x, y)$$ - coincide con la definida por $$\overline{A}'\overline{A}$$- referida a las coordenadas $$(x', y')$$ -, si y sólo si existe una matriz $$\overline{M}=\begin{bmatrix} M & p \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$, $$M \in O(2)$$, $$p=(r,s)^T$$ y $$r,s$$ reales y un numero $$K$$ distinto de cero, tales que: $$\overline{A}'=K\cdot \overline{M}^T \overline{A}\overline{M}$$.

  Además, en este caso también tenemos una igualdad con las matrices principales $$A$$ y $$A'$$,$$A' =K \cdot M^TAM$$