Invariantes euclidianos de las cónicas

A partir de ahora, supondremos que $$\overline{a}$$ y $$A$$ son la matriz proyectiva y la matriz al infinito, referidas a coordenadas rectangulares $$(x, y)$$, de la ecuación de una cónica.

Invariantes relativos y absolutos

$$$\begin{array}{c}D_3=det \overline {A}\\ D_2=ac+af+cf-(b^2+d^2+e^2) \\ d_2=det A=ac-b^2\\ d_1=Tr A=a+c\end{array}$$$ a estos valores se los conocen por invariantes euclídeos.

La determinación de la especie de una cónica a partir de los invariantes se puede obtener mediante la tabla siguiente:

$$$\left\{ \begin{array}{l} D_3 \neq 0 \left\{\begin{array}{l} d_2>0 \mbox{ elipse } \left\{ \begin{array}{l} D_3d_1<0 \mbox{ real} \\ D_3d_1>0 \mbox{ imaginaria }\end{array} \right. \\ d_2 < 0 \mbox{ hipérbola } \\ d_2=0 \mbox{ parábola }\end{array}\right.\\ D_3=0 \left\{ \begin{array}{l} d_2>0 \mbox{ par de rectas imaginarias conjugadas} \\ d_2<0 \mbox{ par de rectas reales} \\d_2=0 \left\{ \begin{matrix} D_2<0 \mbox{ rectas reales paralelas} \\ D_2 >0 \mbox{ par de rectas paralelas imaginarias conjugadas} \\ D_2=0 \mbox{ par de rectas coincidentes} \end{matrix} \right. \end{array} \right.\end{array}\right.$$$

A continuación vamos a dar unas aplicaciones de los invariantes euclídeos:

  • Obtención de las ecuaciones reducidas: La ecuación reducida de las cónicas del tipo centrado es: $$$\displaystyle \lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\frac{D_3}{d_2}=0$$$ La ecuación canónica de una parábola es: $$$\displaystyle x^2+2\sqrt{-\frac{D_3}{d_1^3}}y=0$$$ Finalmente, la ecuación reducida de las rectas paralelas es: $$$\displaystyle x^2+\frac{D_2}{d_1^2}$$$

  • Área de la elipse: El área del elipse se puede calcular mediante la fórmula: $$$\displaystyle A=\pi \sqrt{\frac{D_3^2}{d_2^3}}$$$

  • Ángulo de las asíntotas de una hipérbola: El ángulo que forman las asíntotas de una hipérbola, o un par de rectas, se puede determinar mediante la fórmula $$$\displaystyle \cos^2 \alpha =\frac{d_1^2}{d_1^2-4d_2}$$$

Clasificar la siguiente cónica y encontrar su área: $$x^2+4y^2+4x-6y+9=0$$

La matriz asociada a la cónica es $$$\displaystyle \overline{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & -3 \\ 2 & -3 & 9 \end{bmatrix}$$$ Los invariantes euclídeos asociados a la cónica son: $$$D_3=det \overline{A}=36-16-9=11 \\ d_2=4 \\ d_1=1+4=5$$$ Nótese que no hace falta calcular $$D_2$$ dado que el determinante de la matriz ha dado distinto de cero.

Por lo tanto, siguiendo el algorismo de clasificación, llegamos a que se trata de una elipse imaginaria.

Finalmente, podemos calcular su área mediante una fórmula que usa los invariantes euclídeos: $$$\displaystyle Área=\pi{\sqrt{\frac{D_3^2}{d_2^3}}}=\pi \sqrt{\frac{121}{64}}$$$

Clasificar mediante los invariantes euclídeos, la cónica siguiente $$$q (x, y) =3x^2+3y^2-6xy+4y-8=0$$$ La matriz asociada a la cónica es $$$\displaystyle \overline{A}= \begin{bmatrix} 3 & -3 & -3 \\ -3 & 3 & 2 \\ -3 & 2 & -8 \end{bmatrix}$$$ Los invariantes euclídeos asociados a la cónica son: $$$D_3= det \overline {A}=-3 \\ d_2=0\\d_1=6$$$

Siguiendo el esquema de clasificación mediante los invariantes euclídeos, llegamos a que la cónica es una parábola.