Invariantes euclidianos de las cónicas

A partir de ahora, supondremos que $\overset{―}{a}$ y $A$ son la matriz proyectiva y la matriz al infinito, referidas a coordenadas rectangulares $(x, y)$ , de la ecuación de una cónica.

Invariantes relativos y absolutos

$\begin{matrix} D_{3} = d e t \overset{―}{A} \\ D_{2} = a c + a f + c f - (b^{2} + d^{2} + e^{2}) \\ d_{2} = d e t A = a c - b^{2} \\ d_{1} = T r A = a + c \end{matrix}$ a estos valores se los conocen por invariantes euclídeos.

La determinación de la especie de una cónica a partir de los invariantes se puede obtener mediante la tabla siguiente:

{\begin{cases} D_{3} \neq 0 {\begin{matrix} d_{2} > 0 elipse {\begin{matrix} D_{3} d_{1} < 0 real \\ D_{3} d_{1} > 0 imaginaria \end{matrix} \\ d_{2} < 0 hipérbola \\ d_{2} = 0 parábola \end{matrix} \\ D_{3} = 0 {\begin{matrix} d_{2} > 0 par de rectas imaginarias conjugadas \\ d_{2} < 0 par de rectas reales \\ d_{2} = 0 {\begin{array}{c} D_{2} < 0 rectas reales paralelas \\ D_{2} > 0 par de rectas paralelas imaginarias conjugadas \\ D_{2} = 0 par de rectas coincidentes \end{array} \end{matrix} \end{cases}

A continuación vamos a dar unas aplicaciones de los invariantes euclídeos:

Obtención de las ecuaciones reducidas: La ecuación reducida de las cónicas del tipo centrado es: $λ_{1} x^{2} + λ_{2} y^{2} + \frac{D_{3}}{d_{2}} = 0$ La ecuación canónica de una parábola es: $x^{2} + 2 \sqrt{- \frac{D_{3}}{d_{1}^{3}}} y = 0$ Finalmente, la ecuación reducida de las rectas paralelas es: $x^{2} + \frac{D_{2}}{d_{1}^{2}}$
Área de la elipse: El área del elipse se puede calcular mediante la fórmula: $A = π \sqrt{\frac{D_{3}^{2}}{d_{2}^{3}}}$
Ángulo de las asíntotas de una hipérbola: El ángulo que forman las asíntotas de una hipérbola, o un par de rectas, se puede determinar mediante la fórmula $\cos^{2} α = \frac{d_{1}^{2}}{d_{1}^{2} - 4 d_{2}}$

Ejemplo

Clasificar la siguiente cónica y encontrar su área: $x^{2} + 4 y^{2} + 4 x - 6 y + 9 = 0$

La matriz asociada a la cónica es $\overset{―}{A} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & - 3 \\ 2 & - 3 & 9 \end{matrix}]$ Los invariantes euclídeos asociados a la cónica son: $D_{3} = d e t \overset{―}{A} = 36 - 16 - 9 = 11 d_{2} = 4 d_{1} = 1 + 4 = 5$ Nótese que no hace falta calcular $D_{2}$ dado que el determinante de la matriz ha dado distinto de cero.

Por lo tanto, siguiendo el algorismo de clasificación, llegamos a que se trata de una elipse imaginaria.

Finalmente, podemos calcular su área mediante una fórmula que usa los invariantes euclídeos: $Á r e a = π \sqrt{\frac{D_{3}^{2}}{d_{2}^{3}}} = π \sqrt{\frac{121}{64}}$

Ejemplo

Clasificar mediante los invariantes euclídeos, la cónica siguiente $q (x, y) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y + 4 y - 8 = 0$ La matriz asociada a la cónica es $\overset{―}{A} = [\begin{matrix} 3 & - 3 & - 3 \\ - 3 & 3 & 2 \\ - 3 & 2 & - 8 \end{matrix}]$ Los invariantes euclídeos asociados a la cónica son: $D_{3} = d e t \overset{―}{A} = - 3 d_{2} = 0 d_{1} = 6$

Siguiendo el esquema de clasificación mediante los invariantes euclídeos, llegamos a que la cónica es una parábola.