Invariants euclidians de les còniques

A partir d'ara suposarem que $\overset{―}{a}$ i $A$ són la matriu projectiva i la matriu a l'infinit, referides a coordenades rectangulars $(x, y)$ , de l'equació d'una cònica.

Invariants relatius i absoluts

$\begin{matrix} D_{3} = d e t \overset{―}{A} \\ D_{2} = a c + a f + c f - (b^{2} + d^{2} + e^{2}) \\ d_{2} = d e t A = a c - b^{2} \\ d_{1} = T r A = a + c \end{matrix}$ A aquests valors se'ls coneix per invariants euclidians.

La determinació de l'espècie d'una cònica a partir dels invariants es pot obtenir mitjançant la taula següent:

{\begin{cases} D_{3} \neq 0 {\begin{matrix} d_{2} > 0 el·lipse {\begin{matrix} D_{3} d_{1} < 0 real \\ D_{3} d_{1} > 0 imaginària \end{matrix} \\ d_{2} < 0 hipèrbola \\ d_{2} = 0 paràbola \end{matrix} \\ D_{3} = 0 {\begin{matrix} d_{2} > 0 parell de rectes imaginàries conjugades \\ d_{2} < 0 parell de rectes reals \\ d_{2} = 0 {\begin{array}{c} D_{2} < 0 rectes paral·leles reals \\ D_{2} > 0 parell de rectes paral·leles imaginàries conjugades \\ D_{2} = 0 parell de rectes coincidents \end{array} \end{matrix} \end{cases}

A continuació donarem unes aplicacions dels invariants euclidians:

Obtenció de les equacions reduïdes: L'equació reduïda de les còniques del tipus centrat és: $λ_{1} x^{2} + λ_{2} y^{2} + \frac{D_{3}}{d_{2}} = 0$ L'equació canònica d'una paràbola és: $x^{2} + 2 \sqrt{- \frac{D_{3}}{d_{1}^{3}}} y = 0$ Finalment, l'equació reduïda de les rectes paral·leles és: $x^{2} + \frac{D_{2}}{d_{1}^{2}}$
Àrea de la el·lipse: L'àrea de l'el·lipse es pot calcular mitjançant la fórmula: $A = π \sqrt{\frac{D_{3}^{2}}{d_{2}^{3}}}$
Angle de les asímptotes d'una hipèrbola :L'angle que formen les asímptotes d'una hipèrbola, o un parell de rectes, es pot determinar mitjançant la fórmula $\cos^{2} α = \frac{d_{1}^{2}}{d_{1}^{2} - 4 d_{2}}$

Exemple

Classificar la cònica i trobar la seva àrea: $x^{2} + 4 y^{2} + 4 x - 6 y + 9 = 0$

La matriu associada a la cònica és $\overset{―}{A} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & - 3 \\ 2 & - 3 & 9 \end{matrix}]$ Els invariants euclidians associats a la cònica són: $D_{3} = d e t \overset{―}{A} = 36 - 16 - 9 = 11 d_{2} = 4 d_{1} = 1 + 4 = 5$ Noteu que no cal calcular $D_{2}$ atès que el determinant de la matriu ha donat diferent de zero.

Per tant, seguint l'algorisme de classificació, arribem a que es tracta d'una el·lipse imaginària.

Finalment, podem calcular la seva àrea mitjançant una fórmula que usa els invariants euclidians: $À r e a = π \sqrt{\frac{D_{3}^{2}}{d_{2}^{3}}} = π \sqrt{\frac{121}{64}}$

Exemple

Classificar mitjançant els invariants euclidians, la cònica següent $q (x, y) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y + 4 y - 8 = 0$ La matriu associada a la cònica és $\overset{―}{A} = [\begin{matrix} 3 & - 3 & - 3 \\ - 3 & 3 & 2 \\ - 3 & 2 & - 8 \end{matrix}]$ Els invariants euclidians associats a la cònica són: $D_{3} = d e t \overset{―}{A} = - 3 d_{2} = 0 d_{1} = 6$

Seguint l'esquema de classificació mitjançant els invariants euclidians, arribem a que la cònica és una paràbola.