Invariants euclidians de les còniques

A partir d'ara suposarem que $$\overline{a}$$ i $$A$$ són la matriu projectiva i la matriu a l'infinit, referides a coordenades rectangulars $$(x, y)$$, de l'equació d'una cònica.

Invariants relatius i absoluts

$$$\begin{array}{c}D_3=det \overline {A}\\ D_2=ac+af+cf-(b^2+d^2+e^2) \\ d_2=det A=ac-b^2\\ d_1=Tr A=a+c\end{array}$$$ A aquests valors se'ls coneix per invariants euclidians.

La determinació de l'espècie d'una cònica a partir dels invariants es pot obtenir mitjançant la taula següent:

$$$\left\{ \begin{array}{l} D_3 \neq 0 \left\{\begin{array}{l} d_2>0 \mbox{ el·lipse } \left\{ \begin{array}{l} D_3d_1<0 \mbox{ real} \\ D_3d_1>0 \mbox{ imaginària }\end{array} \right. \\ d_2 < 0 \mbox{ hipèrbola } \\ d_2=0 \mbox{ paràbola }\end{array}\right.\\ D_3=0 \left\{ \begin{array}{l} d_2>0 \mbox{ parell de rectes imaginàries conjugades} \\ d_2<0 \mbox{ parell de rectes reals} \\d_2=0 \left\{ \begin{matrix} D_2<0 \mbox{ rectes paral·leles reals} \\ D_2 >0 \mbox{ parell de rectes paral·leles imaginàries conjugades} \\ D_2=0 \mbox{ parell de rectes coincidents} \end{matrix} \right. \end{array} \right.\end{array}\right.$$$

A continuació donarem unes aplicacions dels invariants euclidians:

  • Obtenció de les equacions reduïdes: L'equació reduïda de les còniques del tipus centrat és: $$$\displaystyle \lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\frac{D_3}{d_2}=0$$$ L'equació canònica d'una paràbola és: $$$\displaystyle x^2+2\sqrt{-\frac{D_3}{d_1^3}}y=0$$$ Finalment, l'equació reduïda de les rectes paral·leles és: $$$\displaystyle x^2+\frac{D_2}{d_1^2}$$$

  • Àrea de la el·lipse: L'àrea de l'el·lipse es pot calcular mitjançant la fórmula: $$$\displaystyle A=\pi \sqrt{\frac{D_3^2}{d_2^3}}$$$

  • Angle de les asímptotes d'una hipèrbola :L'angle que formen les asímptotes d'una hipèrbola, o un parell de rectes, es pot determinar mitjançant la fórmula $$$\displaystyle \cos^2 \alpha =\frac{d_1^2}{d_1^2-4d_2}$$$

Classificar la cònica i trobar la seva àrea: $$x^2+4y^2+4x-6y+9=0$$

La matriu associada a la cònica és $$$\displaystyle \overline{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & -3 \\ 2 & -3 & 9 \end{bmatrix}$$$ Els invariants euclidians associats a la cònica són: $$$D_3=det \overline{A}=36-16-9=11 \\ d_2=4 \\ d_1=1+4=5$$$ Noteu que no cal calcular $$D_2$$ atès que el determinant de la matriu ha donat diferent de zero.

Per tant, seguint l'algorisme de classificació, arribem a que es tracta d'una el·lipse imaginària.

Finalment, podem calcular la seva àrea mitjançant una fórmula que usa els invariants euclidians: $$$\displaystyle Àrea=\pi{\sqrt{\frac{D_3^2}{d_2^3}}}=\pi \sqrt{\frac{121}{64}}$$$

Classificar mitjançant els invariants euclidians, la cònica següent $$$q (x, y) =3x^2+3y^2-6xy+4y-8=0$$$ La matriu associada a la cònica és $$$\displaystyle \overline{A}= \begin{bmatrix} 3 & -3 & -3 \\ -3 & 3 & 2 \\ -3 & 2 & -8 \end{bmatrix}$$$ Els invariants euclidians associats a la cònica són: $$$D_3= det \overline {A}=-3 \\ d_2=0\\d_1=6$$$

Seguint l'esquema de classificació mitjançant els invariants euclidians, arribem a que la cònica és una paràbola.