Girs

Un gir en el pla de centre $O$ i angle $\alpha$ és un moviment directe que a un punt $P$ li fa correspondre un altre punt $P^{\prime }$ de manera que:

$$\overline{PO}=\overline{P^{\prime }{O}^{\prime }}\text{ i }\widehat{PO{P}^{\prime }}=\alpha$$

La funció gir es denota per $g(O,\alpha )$. A l'angle $\alpha$ se'l coneix també pel nom d'argument. Com el gir és una transformació directa i isomètrica, li podem associar un sistema bidimensional d'equacions:

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (\alpha )& -\sin (\alpha )\\ \sin (\alpha )& \cos (\alpha )\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$

on la matriu:

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos (\alpha )& -\sin (\alpha )\\ \sin (\alpha )& \cos (\alpha )\end{array}\right)$

és la matriu de gir i ens diu com es desplacen els elements del pla mitjançant la transformació. Noteu, a més, que gràcies al fet que la matriu de gir del sistema està composta per sinus i cosinus, la transformació gir és periòdica de raó ${360}^{\circ }$.

Com ja hem dit anteriorment, el gir és una transformació directa i isomètrica, donat que el seu determinant és $1$, la qual cosa ens diu que compleix la següent igualtat:

$$d(P,Q)=d(g(P),g(Q))=d(P^{\prime },Q^{\prime })$$

on $g$ és la funció gir amb un angle $\alpha$ arbitrari.

Finalment, observeu que la inversa del gir és un mateix gir però amb l'angle de gir oposat, és a dir, que el seu argument és $-\alpha$.

Per finalitzar, explicarem com es procedeix a l'hora de calcular la transformada dels tres objectes més elementals que hi ha al pla, com ja hem fet en el cas de les translacions.

• Gir de segments: Per calcular el gir d'un segment, només cal calcular els transformats dels extrems i unir-los per obtenir el segment transformat.
• Gir de rectes: N'hi ha prou amb calcular el transformat de dos punts de la recta i unir-los per obtenir la transformació de la recta.
• Gir d'angle: Com un angle ve donat per la intersecció de dos costats, només cal aplicar el gir a cada un dels seus costats per obtenir l'angle transformat.