Esquema de classificació de transformacions geomètriques

Tota transformació geomètrica es pot escriure com un sistema lineal de matrius, és a dir, com un sistema de la forma:

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) \Leftrightarrow \vec{x} = A \cdot \vec{x} + \vec{b}$

A continuació, donarem un esquema de classificació que depèn del sistema d'equacions anterior.

{\begin{cases} Directa si det (A) > 0 {\begin{matrix} Isomètriques si det (A) = \pm 1 {\begin{matrix} Traslació si \vec{b} \neq 0 \\ Gir si \vec{b} = 0 \end{matrix} \\ Isomorfies si det (A) = \pm 1, k > 1 \Rightarrow Semblança \end{matrix} \\ Inversa si det (A) < 0 \Rightarrow Simetria Axial \end{cases}

A l'esquema s'interpreta que la simetria central és un gir de $180^{\circ}$ .

Aquesta classificació és només és vàlida quan:

A la simetria axial, l'eix de simetria és un dels eixos de coordenades.
A la simetria central o en el gir, el centre és l'origen de coordenades.

En els casos que això no es compleixi, l'esquema anteriorment donat és fals. Per fer un esquema de classificació general es necessitarien uns conceptes matemàtics més avançats.

Exemple

Sigui el sistema d'equacions $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

anem a veure quin tipus de transformació es tracta. Per començar, calculem:

$det (A) = 2 - (- 1) = 2 + 1 = 3 > 0$

Per tant, es tracta d'una transformació directa. A més, com el seu determinant és diferent de $1$ , la transformació és una semblança. Aquesta transformació ens triplica les distàncies entre els punts i les longituds dels segments del pla.

Exemple

Donat el següent sistema $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

dir quin tipus de transformació és.

Com $det (A) = - 1$ , la transformació és inversa i l'única transformació inversa és la simetria axial. Per tant, aquesta transformació es tracta d'una simetria axial d'eix l'eix d'ordenades.

Exemple

Finalment, anem a donar un exemple de gir. considereu el sistema d'equacions següent:

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

Llavors el determinant del sistema és:

$det (a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 > 0$

Per tant, es tracta d'una transformació directa. A més, com $d e t (A) = 1$ , es tracta d'una transformació isomètrica i, finalment, com no tenim terme $b$ , s'ha de tractar d'un gir.