Transformacions geomètriques

Col·loquialment, les transformacions geomètriques són les operacions geomètriques que permeten crear una nova figura a partir d'una prèviament donada. A aquesta nova figura se l'anomena l'homòloga de l'original. Podem classificar aquestes transformacions en dos grans grups:

• Directa: si la homòloga conserva l'orientació de l'original.

• Inversa: si la homòloga té el sentit contrari a l'original.

També podem classificar les transformacions geomètriques segons la forma de l'homòleg respecte a l'original. En aquest cas, tenim tres grans grups:

• Isomètriques: l'homòleg conserva les distàncies i els angles. A aquest grup, també se l'anomena moviments en el pla.

• Isomòrfiques: l'homòleg conserva la forma i els angles. Per tant, hi ha proporcionalitat entre els costats del homòleg i el de l'original.

• Anamòrfiques: canvia la forma de la figura original. En aquest tema, aquestes transformacions no es tractaran.

Formalment, les transformacions geomètriques són les aplicacions lineals $$\varphi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$$. Sigui $$(e_1,e_2)$$ una base ortonormal (és a dir, ortogonal de mòdul $$1$$) de $$\mathbb{r}^2$$. Com que les transformacions geomètriques són aplicacions lineals, aleshores les podem representar mitjançant un sistema bidimensional d'equacions lineals. És a dir, sigui $$\vec{x}=(x_1,x_2)$$ un vector qualsevol de $$E$$ i sigui $$\vec{x'}=(x'_1,x'_2)$$ el vector transformat per mitjà de la transformació geomètrica. Llavors, aquests dos vectors compleixen la següent equació:

$$$ \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} $$$

on la matriu $$A= \begin{pmatrix} a& b \\ c & d \end{pmatrix}$$ és la matriu que representa com canvien els vectors de la base respecte de la transformació.

És a dir, a la primera columna hi ha les noves components del primer vector de la base i a la segona les components del segon vector bàsic. A més, el vector $$\vec{b}=(b_1,b_2)^{T}$$ ens diu com canvia l'origen de coordenades mitjançant la transformació.

Per tant, gràcies a aquesta formulació algebraica de les transformacions geomètriques, podem reformular les classificacions anteriors usant només la matriu associada a la transformació. Recordem que, en la primera classificació teníem:

• Transformació directa: Si conserva l'orientació i això succeirà si i només si $$\det (A)> 0$$.
• Transformació inversa: Si inverteix l'orientació, que això passa si i només si $$\det (A) <0$$.

Per tant, mitjançant el signe del determinant de la matriu associada a la transformació, podrem saber si aquesta conserva o no la seva orientació.

D'altra banda, la segona classificació que fèiem de les transformacions geomètriques, ens deia que:

• Isomètriques: Conserva els angles i les distàncies. Aquest fet equival a dir que $$\det (A) = \pm 1$$.
• Isomòrfica: Conserva els angle i la seva forma, hi ha una raó de proporcionalitat entre els costats de l'original i de l'homòleg. Això equival a dir que $$det (A) =\pm K \ $$ i $$ \ K\neq 1$$, les distàncies que hi havia a la figura original es veuen multiplicades pel factor $$|K|$$. Per tant, $$K$$ és la raó de semblança entre les dues figures.
• Anamòrfiques: No poden ser representades per una matriu ja que no conserven ni els angles ni les proporcions. Per tant, aquest tipus d'aplicacions són no lineals.