Simetria axial i simetria central

imagen

Una simetria axial d'eix $e$ és una transformació, per tant, a tot punt $P$ del pla li correspon un altre punt $P^{'}$ també del pla, de manera que l'eix $e$ sigui mediatriu del segment $P P^{'}$ . Les simetries axials són isometries inverses perquè conserven les distàncies entre els seus punts i els seus homòlegs, però la seva orientació és la inversa. La simetria axial no només es presenta entre un objecte i la seva reflexió, sinó també en les figures que mitjançant una línia es poden partir en dues seccions que són simètriques respecte la línia. Aquests objectes tenen un (o més) eixos de simetria.

La simetria axial es dóna quan els punts d'una figura coincideixen amb els punts d'una altra, en prendre com a referència una línia que es coneix amb el nom d'eix de simetria. A la simetria axial es dóna el mateix fenomen que en una imatge reflectida en el mirall.

Als punts que pertanyen a la figura simètrica se'ls anomena punts homòlegs, és a dir, $A^{'}$ és homòleg d' $A$ , $B^{'}$ és homòleg de $B$ i $C^{'}$ és homòleg de $C$ . A més, les distàncies existents entre els punts de la figura original són iguals que les distàncies entre els punts de la figura simètrica. La simetria axial es pot donar també en un objecte respecte d'un o més eixos de simetria.

Si es doblegués la figura sobre l'eix de simetria traçat, es podria observar amb tota claredat que els punts de les parts oposades coincideixen, és a dir, les dues parts són congruents.

A continuació donarem l'expressió en coordenades de les simetries axials.

Siguin $P = (x, y)$ i $P^{'} = (x^{'}, y^{'})$ dos punts del pla, donem la seva expressió en coordenades en funció de la posició del seu eix:

L'eix de simetria és l'eix d'ordenades:

En aquest cas la representació algebraica de la transformació es pot fer mitjançant el següent sistema:

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

Exemple

A continuació, calcularem el simètric del punt $P$ mitjançant una simetria l'eix és l'eix d'ordenades. Sigui $P = (2, 2)$ un punt del pla, llavors el seu simètric es calcula mitjançant el següent sistema d'equacions:

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x^{'} = - 2 \\ y^{'} = 2 \end{cases}$

Per tant, el punt simètric respecte l'eix d'ordenades és el punt $P^{'} = (- 2, 2)$ .

L'eix de simetria és l'eix d'abscisses:

En aquest cas la representació algebraica de la transformació es pot fer mitjançant el següent sistema: $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

Exemple

Seguim amb l'exemple anterior, recordem que teníem un punt $P$ de coordenades $(2, 2)$ i en l'exemple anterior havíem calculat el seu simètric respecte l'eix d'ordenades. Ara anem a calcular el seu simètric respecte de l'eix d'abscisses, aquest nou punt l'anomenarem $P^{″}$ . Les seves coordenades, les calcularem mitjançant el següent sistema d'equacions:

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x^{'} = 2 \\ y^{'} = - 2 \end{cases}$

Per tant, el punt simètric respecte a l'eix d'abscisses és el $P^{″} = (2, - 2)$ .

Veiem ara que passa amb la composició de simetries axials:

La composició de dues simetries amb els eixos paral·lels $e$ i $e^{'}$ és una translació, el vector té la longitud el doble de la distància entre els eixosi, la direcció és perpendicular als eixos i el seu sentit és el que va de $e$ a $e^{'}$ .
La composició de dues simetries amb els eixos perpendiculars $e$ i $e^{'}$ és una simetria central respecte del punt de tall dels dos eixos de simetria.

Exemple

Recuperem el punt $P = (2, 2)$ i apliquem-li una simetria respecte l'eix d'ordenades i després una simetria respecte a l'eix d'abscisses. Per l'últim exemple, el punt simètric per l'eix d'ordenades era el punt $P^{'} = (- 2, 2) .$ Llavors, per calcular el simètric respecte l'eix d'abscisses, resolem el següent sistema d'equacions:

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x^{'} = - 2 \\ y^{'} = - 2 \end{cases}$

Si primer fem la simetria respecte l'eix d'abscisses i després la simetria respecte l'eix de coordenades, arribarem al mateix punt $Q = (- 2, - 2)$ . Com veurem més seguidament, aquesta transformació se l'anomena simetria axial.

Una simetria central, de centre el punt $O$ , és un moviment del pla al que a cada punt $P$ li fa correspondre un altre punt $P^{'}$ , sent $O$ el punt mitjà del segment d'extrems $P$ i $P^{'}$ . Noteu que una simetria central equival a un gir de $180^{\circ}$ .

Un punt és centre de simetria d'una figura si defineix una simetria central.

imagen

A continuació veurem l'expressió en coordenades d'una simetria central variant el centre de simetria.

Coordenades mitjançant una simetria de centre $O = (0, 0)$ :

A la següent imatge veiem com es comporta una simetria central amb centre l'origen de coordenades d'un punt:

A continuació, es veu un triangle i el seu homòleg mitjançant una simetria central:

En els dos casos, la transformació té associat el següent sistema: $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

Exemple

Donat el segment $A B$ d'extrems els punts $A = (1, 0)$ i $B = (2, 3)$ , anem a calcular la seva simetria respecte al centre de coordenades. Per fer-ho, calcularem els simètrics dels punts $A$ i $B$ . En efecte, el simètric d' $A$ és $A^{'}$ :

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x^{'} = - 1 \\ y^{'} = 0 \end{cases}$

Per tant $A^{'} = (- 1, 0)$ . El simètric del punt $B$ és $B^{'}$ :

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x^{'} = - 2 \\ y^{'} = - 3 \end{cases}$

Per tant, el simètric del segment $A B$ és el segment $A^{'} B^{'}$ que passa pels punts $A^{'} = (- 1, 0)$ i $B^{'} = (- 2, - 3)$ .

Coordenades mitjançant una simetria de centre $O = (a, b)$ :

Un punt $P^{'}$ homòleg d'un punt $P = (x, y)$ mitjançant una simetria central de centre $O = (a, b)$ :

I la figura homòloga d'un triangle és de la forma:

Per tant, el seu sistema associat, és: $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 a \\ 2 b \end{matrix})$

on recordem que els valors $(a, b)$ són les coordenades del centre de la simetria.

Exemple

Anem a considerar el centre de la simetria central el punt $O = (1, 2)$ i volem calcular el simètric respecte $O$ del punt $A = (3, 7)$ . Llavors, pel sistema d'equacions associat a la simetria central amb origen $O = (a, b)$ , les coordenades del punt simètric són:

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x^{'} = - 3 + 2 = - 1 \\ y^{'} = - 7 + 4 = - 3 \end{cases}$

Per tant, el simètric del punt $A$ respecte el centre $O = (1, 2)$ és el punt $A^{'} = (- 1, - 3)$ .

Per finalitzar la secció de simetries axials, anem a veure que passa quan componem més d'una simetria central alhora:

Composició de simetries amb el mateix centre: Com una simetria de centre $O$ equival a un gir de centre $O$ i amplitud $180^{\circ}$ , en aplicar una altra transformació l'angle és de $360^{\circ}$ , de manera que s'obté la mateixa figura, el que es diu involució. És una transformació involutiva.

imagen

Composició de simetries amb diferent centre: La composició de dues simetries centrals amb diferent centre és una translació.

imagen